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Ci
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15.1. Méthode des perturbations
tion (15.16) ne peut être valable que pour des temps suffisamment courts
IWJi lt
n « 1
si w = IWJil·
1 5.1.3 Couplage de 1 cp; >à un continuum d'états 1 'Pf > :
règle d'or de Fermi
(15.18)
Une situation intéressante (et courante) est celle où l'état final 1 (fJ f ) appartient à un
continuum d'états. Un exemple de situation physique est l'ionisation d'un atome :
si un atome d'hydrogène dans son état fondamental est éclairé avec un rayonnement
d'énergie supérieure à son énergie d' ionisation, l'état final appartient au continuum
des états de diffusion, proton-électron non liés. (cf. figure 12.2).
Nous commençons par considérer le cas de la perturbation indépendante du temps
(la généralisation au cas d'une perturbation sinusoïdale ne présente aucune difficulté).
Intéressons-nous à la probabilité rp ({); (t) ~ 1 - lci(t)l
2 pour que le système quitte son
état initial :
rp(/);(t) = I rpi~J(t) ~ ~ I IWJil
2 1(t, ~(Ej - Ei)).
J (":#)
ti J <*i)
(15.19)
La somme (1 5.19) est dominée par les états d'énergies EJ ~ Ei, lorsque la condition de résonance est satisfaite, ce qui maximise la fonction f(t, WJJ --7 f(t, 0) =
t
2 . Toutefois le nombre d'états pour lesquels la condition de résonance est satisfaite (approximativement) est proportionnel à la largeur en énergie de la fonction f(t, (E f - Ei)/ti), donnée par ôE f ~ n/t (figure 15.1). La sommation sur les
états finals conduit donc à une probabilité qui croît linéairement avec le temps :
rp (/);(t) = ~z Lf (*i) IWJil
2 f(t, kCE f - EJ) ~ ~z IWJil
2 f(t, 0) ôE f ~ IWJd
2 t/n. Pour
rendre plus précis l'argument, nous introduisons la fonction
0
u)(E) ~ f(t, E/n) = _t_ ( sin(Et/2ti) )
2
2rrnt
2rrn
Et/2n
~ ô(E).
t~oo
(15.20)
Cette fonction de largeur n/t et de hauteur t/ti (figure 15.1) vérifie la propriété
L : dE o
rp(f); (t) ~
2
rr t I IWJi l
2 ô(t)(EJ - Ei).
ti J <*i)
(15.21)
Puisque les états finals appartiennent à un continuum, nous admettons que le temps t
est assez long pour que nous puissions substituer oC t)(E) par ô(E). La probabilité de
quitter l' état se comporte linéairement avec le temps
pour t « l/T(/); '
(15.22)
281
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tion (15.16) ne peut être valable que pour des temps suffisamment courts
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(15.18)
Une situation intéressante (et courante) est celle où l'état final 1 (fJ f ) appartient à un
continuum d'états. Un exemple de situation physique est l'ionisation d'un atome :
si un atome d'hydrogène dans son état fondamental est éclairé avec un rayonnement
d'énergie supérieure à son énergie d' ionisation, l'état final appartient au continuum
des états de diffusion, proton-électron non liés. (cf. figure 12.2).
Nous commençons par considérer le cas de la perturbation indépendante du temps
(la généralisation au cas d'une perturbation sinusoïdale ne présente aucune difficulté).
Intéressons-nous à la probabilité rp ({); (t) ~ 1 - lci(t)l
2 pour que le système quitte son
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rp(/);(t) = I rpi~J(t) ~ ~ I IWJil
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La somme (1 5.19) est dominée par les états d'énergies EJ ~ Ei, lorsque la condition de résonance est satisfaite, ce qui maximise la fonction f(t, WJJ --7 f(t, 0) =
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2 . Toutefois le nombre d'états pour lesquels la condition de résonance est satisfaite (approximativement) est proportionnel à la largeur en énergie de la fonction f(t, (E f - Ei)/ti), donnée par ôE f ~ n/t (figure 15.1). La sommation sur les
états finals conduit donc à une probabilité qui croît linéairement avec le temps :
rp (/);(t) = ~z Lf (*i) IWJil
2 f(t, kCE f - EJ) ~ ~z IWJil
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Cette fonction de largeur n/t et de hauteur t/ti (figure 15.1) vérifie la propriété
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Puisque les états finals appartiennent à un continuum, nous admettons que le temps t
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