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Chapitre 1 5 • Problèmes dépendants du temps
La logique est la même que celle exposée dans la section 13.1, mais cette fois appliquée à l'équation de Schrodinger temporelle (5.1), au lieu de l'équation de Schrodinger stationnaire. Nous décomposons le vecteur propre sur la base des états propres
de l'hamiltonien non perturbé :
11/J(t)) = I Cn(t) 1 'Pn)
(15.3)
n
et résolvons l'équation de Schrodinger avec la condition initiale cn(O) = Ôn,i· Si nous
projetons 1 'équation de Schrodinger sur le vecteur 1 'Pn) nous obtenons
inén(t) = EnCn(t) + I<'PnlW(t)lcpm)Cm(t)
(15.4)
m
i.e. un ensemble d'équations différentielles linéaires du premier ordre pour les composantes cm(t), couplées par la perturbation W(t). Écrivons le coefficient sous la forme
d' un développement
(15.5)
où le terme c~k)(t) est d'ordre W k. En injectant cette forme dans l' équation ( 15.4) et
en identifiant les contributions aux différents ordres nous obtenons les équations :
in é~o) (t) = En c~o) (t)
in é~k) (t) = En c~k)(t)+ I<'Pn lW(t)lcpm)C~- l) (t)
m
pour k ~ 1.
(15.6)
(15.7)
La résolution de ces équations différentielles peut être mise en œuvre assez simplement de manière récursive, au moins en principe. Nous insérons la solution à
l' ordre 0,
(15.8)
dans l'équation différentielle pour c~
1
) (t). Nous obtenons
1 l' amplitude de probabilité
pour observer une transition après un temps t vers un état 1 'Pn ) :
(15.9)
L'amplitude de probabilité a donc la forme d'une transformée de Fourier de l'élément
de matrice de la perturbation, à la fréquence de Bohr Wni = (En - Ei)//i. La probabilité
de transition à 1 ' ordre le plus bas est donnée par Pi~ 1(t) ~ lcj1) (t)!
2 .
1. L'équation différentielle é(t) = a c(t) + b(t) a pour solution c(t) = c(O) ear + J;; dt' e" de variation de la constante).
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