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PROBLÈMES
15
I
DEPENDANTS
DU TEMPS
Dans de nombreuses situations physiques, le système d'intérêt est sondé en étudiant sa réponse à une perturbation extérieure. C'est par exemple le cas dans les
expériences de spectroscopie : on étudie alors comment le système, un atome par
exemple, absorbe et émet du rayonnement. Si nous avons jusqu'à présent admis que
l'atome peut effectuer des transitions entre états stationnaires par absorption/émission
d'énergie, nous n'avons pas encore dressé le cadre permettant de décrire le processus d' absorption/émission lui-même. Nous donnons ici une présentation simplifiée
du problème.
1 5. 1 MÉTHODE DES PERTURBATIONS
Une approche des problèmes dépendant du temps est fournie par la méthode des
perturbations. Considérons un problème décrit par un hamiltonien décomposé sous
la forme
H(t) = Ho+ W(t).
(15.1)
L'hamiltonien Ho décrit par exemple un atome isolé ; son spectre, noté {I ifJn ), En},
est supposé connu. W(t) est supposé être « petit » de façon à pouvoir être traité par
la méthode des perturbations (ce pourra être par exemple l'hamiltonien décrivant le
couplage à une onde lumineuse). Dans le cas où l 'hamiltonien dépend du temps,
l'analyse spectrale perd de son intérêt : déterminer le spectre des valeurs propres
et vecteurs propres de H(t) à un instant t ne nous permet pas d'obtenir l'opérateur
d'évolution. Nous revenons plutôt à l'analyse du comportement temporel de l'état
quantique. Nous supposons que le système se trouve initialement dans un état propre
de Ho : 1 t/f(O) ) = 1 ifJi). En 1' absence de la perturbation, 1 'évolution de 1' état quantique
est donnée par 1 t/f(t)) = e- *E;tl ifJi), i.e. 1( ifJi 1 t/f(t) )1 2 = 1. Comprendre comment la
présence du terme W(t) affecte la dynamique du système sera formulé commodément
en terme de probabilité de transition : quelle est la probabilité pour effectuer une
transition del' état 1 ifJi) vers un autre état 1 temps t ? L' objectif du prochain paragraphe est donc de déterminer la probabilité de
transition entre deux états propres de l' hamiltonien non perturbé :
pour 1 t/f(O) ) = 1 ifJi ) .
(15.2)
277
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1 5. 1 MÉTHODE DES PERTURBATIONS
Une approche des problèmes dépendant du temps est fournie par la méthode des
perturbations. Considérons un problème décrit par un hamiltonien décomposé sous
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(15.1)
L'hamiltonien Ho décrit par exemple un atome isolé ; son spectre, noté {I ifJn ), En},
est supposé connu. W(t) est supposé être « petit » de façon à pouvoir être traité par
la méthode des perturbations (ce pourra être par exemple l'hamiltonien décrivant le
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quantique. Nous supposons que le système se trouve initialement dans un état propre
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présence du terme W(t) affecte la dynamique du système sera formulé commodément
en terme de probabilité de transition : quelle est la probabilité pour effectuer une
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