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Ci
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14.1. Structure fine
14.1.2 Couplage spin-orbite
Nous montrons qu'au sein du sous espace
2 , 1"""7' l z}: < n, e; j, m IWso l n, e'; j'' m') ex:
ôe,e 1 ÔJ,J'Ôm,m'· Ce résultat est démontré à l'aide des considérations (règles de sélection) suivantes :
• Invariance par rotation. W so = §(r)l · S est un scalaire pour les ro-+
tations engendrées par le moment cinétique total J, ce qui conduit à
< n, e; j, m IWsol n, e'; j', m') oc 81.J'ôm,m'.
• Nature vectorielle de l. Le moment cinétique orbital l ne génère pas de rotation
-+
du spin. Du point de vue des rotations orbitales (rotations engendrées par f), W so
est une combinaison linéaire des composantes d'un opérateur vectoriel. Nous en
déduisons que < n, t:; j, m I Wso In, e'; j', m' ) est non nul ssi e - e' = 0, ± 1 (théorème
de Wigner-Eckart).
-+
• Parité. e est un opérateur pair, une condition nécessaire de non nullité de l'élément
de matrice est e - t:' pair.
QED.
En utilisant la relation f. S = ~(1
2 - l 2 - S 2 ) nous obtenons immédiatement les
valeurs propres de la restriction de W so dans le sous-espace propre
n2§
.6.E~
0
e
1
. = n,e [j(j + 1) - t:(t: + 1) - 3/4]
''
2
(14.11)
où §n,e ~- < n, e, m l§(r)I n, e, m) = fo= dr r
2 §(r) Rn,e(r)
2 . On aboutit finalement à
.6.E~~o.i; 2 = 0 et, en utilisant ( 14.8),
.6.Eso . = ~ œ4m c2 _1 __ j(_j_+_l_)_-_e_(e _+_l)_-_3/_4
n,e,j 2
e
2n3
ece + l)(f + 1/2)
pour
e > o.
(14.12)
14.1.3 Conclusion
Nous regroupons les différentes corrections :
.6.En,J = .6.E~e + .6.E~~e.J + .6.E~ e
(14.13)
où l'absence de dépendance en e est brièvement commentée plus bas.
Dressons un petit tableau précisant les valeurs des différentes contributions pour
les états des niveaux n = 1 et n = 2. Nous utilisons les notations spectroscopiques :
on précise la valeur de j en indice. Par exemple, le niveau fondamental est noté 1 s 112 •
Les différents états den = 2 sont 2s1;2, 2p1;2 et 2p3;2, etc.
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14.1.2 Couplage spin-orbite
Nous montrons qu'au sein du sous espace
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• Invariance par rotation. W so = §(r)l · S est un scalaire pour les ro-+
tations engendrées par le moment cinétique total J, ce qui conduit à
< n, e; j, m IWsol n, e'; j', m') oc 81.J'ôm,m'.
• Nature vectorielle de l. Le moment cinétique orbital l ne génère pas de rotation
-+
du spin. Du point de vue des rotations orbitales (rotations engendrées par f), W so
est une combinaison linéaire des composantes d'un opérateur vectoriel. Nous en
déduisons que < n, t:; j, m I Wso In, e'; j', m' ) est non nul ssi e - e' = 0, ± 1 (théorème
de Wigner-Eckart).
-+
• Parité. e est un opérateur pair, une condition nécessaire de non nullité de l'élément
de matrice est e - t:' pair.
QED.
En utilisant la relation f. S = ~(1
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pour
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(14.12)
14.1.3 Conclusion
Nous regroupons les différentes corrections :
.6.En,J = .6.E~e + .6.E~~e.J + .6.E~ e
(14.13)
où l'absence de dépendance en e est brièvement commentée plus bas.
Dressons un petit tableau précisant les valeurs des différentes contributions pour
les états des niveaux n = 1 et n = 2. Nous utilisons les notations spectroscopiques :
on précise la valeur de j en indice. Par exemple, le niveau fondamental est noté 1 s 112 •
Les différents états den = 2 sont 2s1;2, 2p1;2 et 2p3;2, etc.
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