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Chapitre 14 • Structures fine et hyperfine du spectre de l'hydrogène
associées aux états 1 n, e, m) ® 1 ± ). L'application de la méthode des perturbations
nous conduit donc à diagonaliser les restrictions des opérateurs Wm , Wso et Wn dans
les sous espaces propres cff (En).
• Trois éléments de matrice utiles
Nous aurons besoin de calculer les valeurs moyennes de r- k dans un état propre
de Ho pour k = l, 2, 3. Grâce à l'invariance par rotation, cette valeur moyenne ne
dépend que des nombres quantiques n et e (autrement dit : < n, e, m lr-kl n, e, m) =
J drr-k lt/tn,e,m(r'>l
2 = fo
00
dr r2- k Rn,e(r)
2 , où les fonctions Rn,e sont données au chaptire 12) :
(14.6)
((a:J2L = : 3 e +\12
(14.7)
((a:nn,e = n~ {({ + !);{ + 1/2)
pour
e > 0
(14.8)
Le premier de ces éléments de matrice n' est rien d ' autre que l'énergie potentielle
'
f
' . (E ) - ( e2 )
- 2
-
e2 1
moyenne, a un acteur pres . p n,e - -7 n,e - En - - as n 2 ·
14.1.1 Termes de correction de masse et de Darwin
Les termes de correction de masse et de Darwin sont faciles à traiter. Puisque W m
et Wn sont scalaires, la restriction des opérateurs dans le sous espace cff (En) est proportionnelle à l' identité : autrement dit ( n, e, m IW ml n, e', m') = Cn,eôe,e' ôm,m' où
Cn,e est une constante. Les restrictions de W m et Wn sont déjà diagonales dans les
sous espaces cff(En). Nous déduisons que la correction est simplement : !!.Eme =
n,
(n, l, mlWmln, l, m).
En écrivant que W m = - 2
1
2 (Ho + e
2
)
2 , on montre que :
mec
r
(14.9)
Le terme de Darwin est aisément traité en perturbation en notant que la valeur de
la fonction d' onde s à l' origine est : lt/t noo(0)1
2
= l/(n n 3 a1) (on utilise l'expression de
la fonction radiale (1 2.22) et l'annexe A). On obtient:
(14.10)
272