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14.1. Structure fine
L'estimation de la contribution de ce terme est obtenue en remplaçant r par le rayon
de Bohr : Wso ,...., ;
1
2
11 : , . . . . , œ 4 mec
2 (nous avons également utilisé que le moment
mec a 8
cinétique est d'ordre n).
• Terme de Darwin
L'interprétation physique de ce terme peut se comprendre de la manière suivante :
l'interaction électromagnétique entre le proton et l'électron n'est pas instantanée mais
se propage à vitesse c. Un photon fait un aller-retour entre le proton et l'électron en
un temps a 8 /c pendant lequel l'électron s'est mû de a 8 vifc = œa 8 = n/mec. Cette
longueur est appelée longueur de Compton et notée Àc ~ n/meC. Au niveau d'une
description phénomènologique, nous sommes donc tentés de remplacer l'interaction
locale entre le proton et l'électron par une interaction non locale, effective sur cette
échelle de longueur : le potentiel V(r') dans l'équation de Schrodinger est alors remplacé par J dr' f(r') V(r + r') où f(r') est une fonction normalisée, de largeur Àc.
On peut toujours donner un développement d'une fonction étroite sous la forme
2 :
f(r') = ô(r') + bl[;!lô(r') + · · · (où b est un coefficient sans dimension, dépendant du
choix précis de la fonction). Le deuxième terme/[;/l V(r') coïncide avec le terme de
Darwin Wo.
Pour le potentiel coulombien, nous utilisons Il; = -4nô(r') (cf. exercice 2.12), ce
qui conduit à :
nn
2 e
2
Wo =
2 2
ô(r').
2meC
(14.4)
Seules les ondes s (de moment e = 0), qui ont une valeur finie à l'origine, sont
donc affectées par le terme de Darwin. En calculant les éléments de matrice de W 0 ,
la distribution de Dirac est remplacée par la valeur de la densité de probabilité à
l'origine (ô(r'))noo = lt/lnoo(Ô)l
2 ,...., 1/a~ et nous trouvons W 0 ,...., ~
2
.~
2
3 ,...., œ 4 mec
2 .
mec a 8
Finalement nous constatons que les trois termes sont du même ordre de grandeur :
(14.5)
Si nous comparons cet ordre de grandeur à l'énergie de liaison, d'ordre R = ~œ
2
mec
2
,
nous obtenons des corrections relatives très petites, de l'ordre de W / R ,...., œ 2 ,...., 104 .
Ceci justifie un traitement perturbatif des trois termes correctifs.
Commençons par revenir sur l'hamiltonien Ho . L'espace de Hilbert de la particule
est Y~rb © Y~pin· Les valeurs propres de Ho sont En = - R/n
2 , dégénérées 2n
2 fois,
2. Un exemple d'un tel développement est celui de la fo nction j~(x) = t;e-lxl /a de largeur a. Considérons
1' intégrale par une fonction cp(x) régulière à 1' origine. La limite a -7 0 nous donne : J dx f a(x) cp(x) =
cp(O) + a
2 cp"(O) + O(a
4 ). Nous pouvons écrire j~(x) = ô(x) + a
2 ô"(x) + O(a
4 ).
271
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L'estimation de la contribution de ce terme est obtenue en remplaçant r par le rayon
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2 (nous avons également utilisé que le moment
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cinétique est d'ordre n).
• Terme de Darwin
L'interprétation physique de ce terme peut se comprendre de la manière suivante :
l'interaction électromagnétique entre le proton et l'électron n'est pas instantanée mais
se propage à vitesse c. Un photon fait un aller-retour entre le proton et l'électron en
un temps a 8 /c pendant lequel l'électron s'est mû de a 8 vifc = œa 8 = n/mec. Cette
longueur est appelée longueur de Compton et notée Àc ~ n/meC. Au niveau d'une
description phénomènologique, nous sommes donc tentés de remplacer l'interaction
locale entre le proton et l'électron par une interaction non locale, effective sur cette
échelle de longueur : le potentiel V(r') dans l'équation de Schrodinger est alors remplacé par J dr' f(r') V(r + r') où f(r') est une fonction normalisée, de largeur Àc.
On peut toujours donner un développement d'une fonction étroite sous la forme
2 :
f(r') = ô(r') + bl[;!lô(r') + · · · (où b est un coefficient sans dimension, dépendant du
choix précis de la fonction). Le deuxième terme/[;/l V(r') coïncide avec le terme de
Darwin Wo.
Pour le potentiel coulombien, nous utilisons Il; = -4nô(r') (cf. exercice 2.12), ce
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(14.4)
Seules les ondes s (de moment e = 0), qui ont une valeur finie à l'origine, sont
donc affectées par le terme de Darwin. En calculant les éléments de matrice de W 0 ,
la distribution de Dirac est remplacée par la valeur de la densité de probabilité à
l'origine (ô(r'))noo = lt/lnoo(Ô)l
2 ,...., 1/a~ et nous trouvons W 0 ,...., ~
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Finalement nous constatons que les trois termes sont du même ordre de grandeur :
(14.5)
Si nous comparons cet ordre de grandeur à l'énergie de liaison, d'ordre R = ~œ
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nous obtenons des corrections relatives très petites, de l'ordre de W / R ,...., œ 2 ,...., 104 .
Ceci justifie un traitement perturbatif des trois termes correctifs.
Commençons par revenir sur l'hamiltonien Ho . L'espace de Hilbert de la particule
est Y~rb © Y~pin· Les valeurs propres de Ho sont En = - R/n
2 , dégénérées 2n
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2. Un exemple d'un tel développement est celui de la fo nction j~(x) = t;e-lxl /a de largeur a. Considérons
1' intégrale par une fonction cp(x) régulière à 1' origine. La limite a -7 0 nous donne : J dx f a(x) cp(x) =
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4 ). Nous pouvons écrire j~(x) = ô(x) + a
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