-0
0
c
:J
0
lil
..-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
> a.
0
u
Chapitre 14 • Structures fine et hyperfine du spectre de l'hydrogène
14.1 STRUCTURE FINE
La théorie quantique relativiste de l'électron a été développée en 1928 par Dirac.
L'étude de l'équation de Dirac est très intéressante mais dépasse le cadre de ce cours.
Nous décrivons ici les effets relativistes de façon approchée en étudiant les termes
correctifs à 1 'énergie non relativiste, obtenus par un développement en puissances
de l/c de l'hamiltonien de Dirac. Ce développement prend la forme (cf. §33 et §34
de [31] ou chapitre XII de [8]) :
jJ
2
jJ
4
1 1 dV(r)
n
2
H = mec 2 + -
+ V(r)3
+
2
---f· S + 2 ~V(r) +0(1/c
4 )
2me
8mec 2 2mec 2 r dr
8mec 2
~ ~
--~--Ho
Wm
Wso
Wo
(14.1)
où V(r) = -e
2 /r est le potentiel coulombien. Discutons brièvement le sens physique
des différents termes et estimons l'ordre de grandeur des corrections qu'ils apportent.
• Correction de masse
Le terme Wm est appelé terme de «correction de masse » et correspond au terme en
l /c
2 du développement de la relation de dispersion relativiste E = .../m~c 4 + jJ 2 c 2 =
2
jJ 2
jJ4
4
mec + - 2 - - 8 3 2 + 0(1/c ).
me
mec
Pour donner une estimation de la contribution du terme W m aux énergies,
souvenons-nous que l' impulsion de l' électron dans l' atome est de l'ordre de :
p ~ œ mec. Nous déduisons que Wm ~ œ 4 mec 2 .
• Couplage spin-orbite
Lorsqu' on procède à un changement de référentiel, nous savons que les champs électrique et magnétique sont mélangés. Dans le référentiel du proton, le champ est un
champ électrique radial qeÊ = - e~ i1r. En passant dans le référentiel de l'électron, le
r
~
1
~
champ électromagnétique acquiert une composante magnétique B' : : : : : ; - -,/if x E où û
c
est la vitesse de l'électron. Ce champ magnétique se couple au moment magnétique
de l' électron Me = YeS:
~, rt
1 dV(r) ~ ~ rt
1 1 dV(r) ~ rt
W so ~ -yeB . .) = - - - - - - (v X Ur) . .) = - - - - - e . .).
mec 2 dr
m~c2 r dr
(14.2)
Notons que cet argument simple rate un facteur 1/2 ; des références discutant ce point
sont données dans [8]. Par commodité nous introduisons la notation :
W so = ~( r) f. S
avec
) ctef
1 1 d V ( r)
e
2
1
~(r = 2m2c2 ;~ = 2m2c2 r3 •
e
e
(14.3)
270
0
c
:J
0
lil
..-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
> a.
0
u
Chapitre 14 • Structures fine et hyperfine du spectre de l'hydrogène
14.1 STRUCTURE FINE
La théorie quantique relativiste de l'électron a été développée en 1928 par Dirac.
L'étude de l'équation de Dirac est très intéressante mais dépasse le cadre de ce cours.
Nous décrivons ici les effets relativistes de façon approchée en étudiant les termes
correctifs à 1 'énergie non relativiste, obtenus par un développement en puissances
de l/c de l'hamiltonien de Dirac. Ce développement prend la forme (cf. §33 et §34
de [31] ou chapitre XII de [8]) :
jJ
2
jJ
4
1 1 dV(r)
n
2
H = mec 2 + -
+ V(r)3
+
2
---f· S + 2 ~V(r) +0(1/c
4 )
2me
8mec 2 2mec 2 r dr
8mec 2
~ ~
--~--Ho
Wm
Wso
Wo
(14.1)
où V(r) = -e
2 /r est le potentiel coulombien. Discutons brièvement le sens physique
des différents termes et estimons l'ordre de grandeur des corrections qu'ils apportent.
• Correction de masse
Le terme Wm est appelé terme de «correction de masse » et correspond au terme en
l /c
2 du développement de la relation de dispersion relativiste E = .../m~c 4 + jJ 2 c 2 =
2
jJ 2
jJ4
4
mec + - 2 - - 8 3 2 + 0(1/c ).
me
mec
Pour donner une estimation de la contribution du terme W m aux énergies,
souvenons-nous que l' impulsion de l' électron dans l' atome est de l'ordre de :
p ~ œ mec. Nous déduisons que Wm ~ œ 4 mec 2 .
• Couplage spin-orbite
Lorsqu' on procède à un changement de référentiel, nous savons que les champs électrique et magnétique sont mélangés. Dans le référentiel du proton, le champ est un
champ électrique radial qeÊ = - e~ i1r. En passant dans le référentiel de l'électron, le
r
~
1
~
champ électromagnétique acquiert une composante magnétique B' : : : : : ; - -,/if x E où û
c
est la vitesse de l'électron. Ce champ magnétique se couple au moment magnétique
de l' électron Me = YeS:
~, rt
1 dV(r) ~ ~ rt
1 1 dV(r) ~ rt
W so ~ -yeB . .) = - - - - - - (v X Ur) . .) = - - - - - e . .).
mec 2 dr
m~c2 r dr
(14.2)
Notons que cet argument simple rate un facteur 1/2 ; des références discutant ce point
sont données dans [8]. Par commodité nous introduisons la notation :
W so = ~( r) f. S
avec
) ctef
1 1 d V ( r)
e
2
1
~(r = 2m2c2 ;~ = 2m2c2 r3 •
e
e
(14.3)
270