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> a.
0
u
Chapitre 13 • Méthodes d'approximation
L'hamiltonien
(
Pi 2 ze2)
e2
H = ;~2 z;;;;- îii' Ji + ~
avec Z = 2
(13.52)
Ho
w
décrit l'énergie des électrons dans l'atome d'hélium. Nous notons
i1
2
Ze
2
E l' /
.
d
t10nna1fe e 10n e
ion = 2 me - WiT , et a energ1e correspon ante.
1) États propres de H 0 • Dans cette question nous étudions le spectre des deux électrons, sans prendre en compte le terme d'interaction mutuelle W.
a) Nous supposons que les deux électrons occupent deux orbitales 1
électron dans chaque orbitale). Construire les états stationnaires de Ho factorisés orbite®spin. Quel est l'intérêt de tels états? Pourrait-on considérer des états
stationnaires non factorisés ?
b) Donner le spectre des valeurs propres de Ho. Discuter les dégénérescences des
deux premiers niveaux d' énergie.
2) État fondamental (ls 2 ). Exprimer la correction apportée par le terme d'interaction W à l'énergie du fondamental de Ho. Estimer l'ordre de grandeur de la correction perturbative. Comparer le résultat perturbatif avec le résultat expérimental :
la première ionisation (He--7He+) correspond à une transition de longueur d'onde
 = 1/19.831 µm. Que pensez-vous de la validité de l'approche perturbative?
3) Premier niveau excité (ls2s). Bien que les orbitales 2s et 2p soient dégénérées,
les états ls2s ont une énergie légèrement plus basse que les états ls2p pour des raisons que nous ne discuterons pas. Nous oublierons donc ces derniers.
Montrer que 1 'énergie coulombienne lève la dégénérescence entre certains des états
de ls2s. On exprimera les corrections perturbatives en terme de l'intégrale de Coulomb
f
2
e2
2
Cab=
dr1dr2 la(r1)I llr1 - r2ll lb(r 2)I
(13.53)
et de l' intégrale d'échange
lah = f di'1 di'2 i/>a(i'1)i/>h(i'i)• lli'i ~ i'
2
ll i/>a(i'2J' i/>h(i'2).
(13.54)
On admet que l'intégrale d' échange lah > 0 (on pourra essayer de le justifier). Faire
un diagramme d'énergie. Donner un ordre de grandeur pour la différence d'énergie
(l'expérience donne 0.796 eV). Justifier physiquement pourquoi l'état triplet de spin
est l' état de plus basse énergie.
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L'hamiltonien
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(13.52)
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décrit l'énergie des électrons dans l'atome d'hélium. Nous notons
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ion = 2 me - WiT , et a energ1e correspon ante.
1) États propres de H 0 • Dans cette question nous étudions le spectre des deux électrons, sans prendre en compte le terme d'interaction mutuelle W.
a) Nous supposons que les deux électrons occupent deux orbitales 1
électron dans chaque orbitale). Construire les états stationnaires de Ho factorisés orbite®spin. Quel est l'intérêt de tels états? Pourrait-on considérer des états
stationnaires non factorisés ?
b) Donner le spectre des valeurs propres de Ho. Discuter les dégénérescences des
deux premiers niveaux d' énergie.
2) État fondamental (ls 2 ). Exprimer la correction apportée par le terme d'interaction W à l'énergie du fondamental de Ho. Estimer l'ordre de grandeur de la correction perturbative. Comparer le résultat perturbatif avec le résultat expérimental :
la première ionisation (He--7He+) correspond à une transition de longueur d'onde
 = 1/19.831 µm. Que pensez-vous de la validité de l'approche perturbative?
3) Premier niveau excité (ls2s). Bien que les orbitales 2s et 2p soient dégénérées,
les états ls2s ont une énergie légèrement plus basse que les états ls2p pour des raisons que nous ne discuterons pas. Nous oublierons donc ces derniers.
Montrer que 1 'énergie coulombienne lève la dégénérescence entre certains des états
de ls2s. On exprimera les corrections perturbatives en terme de l'intégrale de Coulomb
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Cab=
dr1dr2 la(r1)I llr1 - r2ll lb(r 2)I
(13.53)
et de l' intégrale d'échange
lah = f di'1 di'2 i/>a(i'1)i/>h(i'i)• lli'i ~ i'
2
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(13.54)
On admet que l'intégrale d' échange lah > 0 (on pourra essayer de le justifier). Faire
un diagramme d'énergie. Donner un ordre de grandeur pour la différence d'énergie
(l'expérience donne 0.796 eV). Justifier physiquement pourquoi l'état triplet de spin
est l' état de plus basse énergie.
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