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Chapitre 13 • Méthodes d'approximation
A. Démonstration du théorème
1) On introduit la notation V± = Vx ± iVy. Montrer que :
[Jz, Vz] = 0
[Jz, V±] = ±n V±
[l+, V+]= [J_, V_]= 0
[l+, V_]= -[J_, V+]= 2n Vz
2) Règles de sélection.
(13.43)
(13.44)
(13.45)
(13.46)
Déduire à quelle(s) condition(s) sur met m' les éléments de matrice ( j, m IVzl j', m')
et ( j, m IV±I j', m') sont différents de zéro.
3) Dans cette partie on démontre le théorème. Pour cela on utilse les relations de
commutation (13.43, 13.44, 13.45, 13.46).
a) Montrer que :
(j,mlV+lj,m') = Œ+(j)(j,mll+lj,m') V m, m'
(13.47)
et
( j, m IV- U, m') = a _(j) ( j, m IJ_lj, m') V m, m'
(13.48)
b) Montrer successivement que ( j, m IVzl j, m) = mn a+(j) et ( j, m IVzl j, m) =
mna_(j).
c) Déduire le théorème (13.42).
B. Application : effet Zeeman et facteurs de Landé atomiques
On considère un atome de numéro atomique Z. L' énergie des électrons s'exprime
comme:
z ( Pi 2 ze2)
e1
Ho= I --- + Ii= l 2me
ri
i> j rij
(13.49)
où les D et les Pi sont les positions et les impulsions des électrons. On a introduit les
notations ri = lli"ill, rij = llD- r)I et e
2
= q~/( 4m:o) où qe est la charge del' électron. Le
moment orbital total de 1' atome est la somme des moments de chacun des électrons :
l = ~f= 1 ~. De même pour l' opérateur de spin électronique S = ~~ 1 ~.
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