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13.3. La méthode JWKB et l'approximation semiclassique
Finalement nous obtenons la condition de quantification semiclassique :
2 lb dxp(x) = 2nli (n + ~)
v = 2 pour deux bords mous
où v = 0 pour deux bords durs
v = 1 pour un bord dur et un bord mou
(13.37)
( v est appelé « indice de Maslov » ). Le lecteur ayant fait 1' exercice 1.3 aura identifié
le sens physique du membre de gauche. Nous pouvons reécrire cette équation d'une
façon plus suggestive :
2 lb dx ,,/2m[ En - V(x)] = 2 S(bla; En) = Action sur une période = h ( n + ~)
(13.38)
i.e. les valeurs propres de l'énergie sont telles que l'action de la trajectoire classique
correspondante est un multiple entier de la constante de Planck h = 2nn (à l' indice
de Maslov près).
Nous pouvons illustrer ce résultat sur l' exemple très simple de l'oscillateur harmonique V(x) = !mw
2 x
2 : l'action d'une période est donnée par 2S(bla; E) = 2nE/w
(on utilise fo
1 dx VI - x 2 = n/4). L'indice de Maslov est dans ce cas v = 2 et l'équation (13.38) conduit bien au spectre En = nw(n + 1/ 2) (dans ce cas l'approximation
semi classique est exacte car le potentiel est quadratique).
b) Densité d'états semiclassique
Nous pouvons utiliser (13.38) pour obtenir l'approximation semiclassique de la densité d'états dans la situation unidimensionnelle. En écrivant p(En) ~ I/ôEn où
ôEn ~ En+l - En est l'écart entre niveaux, nous voyons que la densité d'états est
obtenue en dérivant (1 3.38) par rapport à l'énergie. Nous reconnaissons la période
classique dont l' expression a été obtenue dans l 'exercice 1.3 :
(13.39)
Ce terme lisse de la densité d'états (en principe une superposition de ô) est appelé
« terme de Weyl ».
Ce résultat est réminiscent de l' inégalité de Heisenberg temporelle (2.40) : l'équation (13.39) se reécrit ôEn Tct(En) = h, et relie la période classique à la distance entre
mveaux.
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