"'O
0
c
::i
0
L()
T"-4
0
N
@
.µ
..c
Ol
ï:::
>
Cl.
0
u
Chapitre 13 • Méthodes d'approximation
• Principe du raccordement des solutions propagatives et evanescentes
Nous expliquons le principe de raccordement des solutions propagatives (1 3.34) et
évanescentes (1 3.35). Au voisinage du point tournant, XE tel que V(xE) = E, le potentiel peut être linéarisé. L'équation différentielle t 2 !/J(x) ~ V' (xE)(x - XE)lf!(x)
est l'équation d' Airy. Considérons par exemple le cas d'un bord réfléchissant (par
exemple le potentiel de la figure 1.8 au voisinage de x = b). La solution de l'équation
d'Airy décroissant pour x-? oo doit être retenue, notée lf!(x) ~ Ai[V'(b)
1
1\x - b)].
Le comportement Ai(z -? +oo) ~ ~z 114 exp-~ z 3 1
2 s'identifie avec (13.35) pour
C = O. L'analyse du comportement asymptotique de la fonction d' Airy (du côté
autorisé classiquement), Ai(z -? -oo) ~ ../H(~z) 'l 4 cos(~(-z)
3
1
2 - ~)s'identifie avec
(1 3.34) et nous montre que la phase relative entre les deux termes de (13.34) (phase
due à la réflexion sur la barrière de potentiel) est rr/2, i.e. B = i A.
1 3.3.1 Applications
a) Règle de quantification semiclassique
Une application importante de la méthode JWKB, i.e. des formules (1 3.34) et (13.35)
est de fournir une règle de quantification (la règle de quantification de BohrSommerfeld). Considérons un potentiel confinant du type de celui de la figure 1.8
et cherchons une condition permettant de déterminer le spectre des états liés (de manière approchée). L'expression (1 3.34) décrit la superposition d 'une onde propagative vers la droite et d'une onde propagative vers la gauche : elle suggère que la
phase de la fonction d'onde évolue de 11
bords (figure 13.3). Par exemple nous venons de voir que la réflexion sur un bord
« mou » produit une phase rr/2. Lorsqu'une particule se réfléchit sur un bord dur,
l'annulation de la fonction d'onde au niveau du bord, lf!(a) = 0 s'interprétè comme
une phase à la réflexion
a
258
a
Figure 13.3 - Déphasage par une
réflexion.
La phase à la réflexion est n/ 2 pour un
bord « mou » et n pour un bord« dur »
(cette derni ère condition as sure
l' annulation de la fonction d'onde au
point tournant).
0
c
::i
0
L()
T"-4
0
N
@
.µ
..c
Ol
ï:::
>
Cl.
0
u
Chapitre 13 • Méthodes d'approximation
• Principe du raccordement des solutions propagatives et evanescentes
Nous expliquons le principe de raccordement des solutions propagatives (1 3.34) et
évanescentes (1 3.35). Au voisinage du point tournant, XE tel que V(xE) = E, le potentiel peut être linéarisé. L'équation différentielle t 2 !/J(x) ~ V' (xE)(x - XE)lf!(x)
est l'équation d' Airy. Considérons par exemple le cas d'un bord réfléchissant (par
exemple le potentiel de la figure 1.8 au voisinage de x = b). La solution de l'équation
d'Airy décroissant pour x-? oo doit être retenue, notée lf!(x) ~ Ai[V'(b)
1
1\x - b)].
Le comportement Ai(z -? +oo) ~ ~z 114 exp-~ z 3 1
2 s'identifie avec (13.35) pour
C = O. L'analyse du comportement asymptotique de la fonction d' Airy (du côté
autorisé classiquement), Ai(z -? -oo) ~ ../H(~z) 'l 4 cos(~(-z)
3
1
2 - ~)s'identifie avec
(1 3.34) et nous montre que la phase relative entre les deux termes de (13.34) (phase
due à la réflexion sur la barrière de potentiel) est rr/2, i.e. B = i A.
1 3.3.1 Applications
a) Règle de quantification semiclassique
Une application importante de la méthode JWKB, i.e. des formules (1 3.34) et (13.35)
est de fournir une règle de quantification (la règle de quantification de BohrSommerfeld). Considérons un potentiel confinant du type de celui de la figure 1.8
et cherchons une condition permettant de déterminer le spectre des états liés (de manière approchée). L'expression (1 3.34) décrit la superposition d 'une onde propagative vers la droite et d'une onde propagative vers la gauche : elle suggère que la
phase de la fonction d'onde évolue de 11
bords (figure 13.3). Par exemple nous venons de voir que la réflexion sur un bord
« mou » produit une phase rr/2. Lorsqu'une particule se réfléchit sur un bord dur,
l'annulation de la fonction d'onde au niveau du bord, lf!(a) = 0 s'interprétè comme
une phase à la réflexion
a
258
a
Figure 13.3 - Déphasage par une
réflexion.
La phase à la réflexion est n/ 2 pour un
bord « mou » et n pour un bord« dur »
(cette derni ère condition as sure
l' annulation de la fonction d'onde au
point tournant).