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13.3. La méthode JWKB et l'approximation semiclassique
En conclusion, dans une reg10n autorisée classiquement, la solution approchée
de l'équation de Schrodinger est donnée par la superposition de deux fonctions
propagatives
si E > V(x)
(13.34)
alors que dans les régions interdites classiquement, elle combine deux solutions
évanescentes
si E < V(x)
(13.35)
• Validité
La recherche d'une solution sous forme d'un déveleppoment S (x) = S o(x) + S 1 (x) +
S 2 (x) + · · · se justifie si S 0 » S 1 » S 2 >> ···.En écrivant plutôt S~ « S~ , nous
obtenons np'(x)/p(x) << p(x), i.e. [n/p(x) ]' << 1. Nous reconnaissons la longueur
d'onde de Broglie ild 8 (x) ~ h/ p(x), ce qui permet d'obtenir la forme suggestive :
1
dildB(X)1
dx
« 1.
(13.36)
Cette condition nous indique que le potentiel doit varier sur une échelle de longueur
plus grande que l'échelle caractérisant les oscillations de la fonction d'onde (c'est
une hypothèse adiabatique).
En particulier, les solutions semiclassiques ne permettent pas de discuter la dynamique de la particule au voisinage des points de rebroussement, ce qui est illustré sur
un exemple sur la figure 13.2.
~ Figure 13.2 - Approximation JWKB.
1.0
0)
~~
2
~
Pour le potentiel V(x) = _!t_e2xf a
2ma2
'
comparaison de la solution donnée par
g l'approximation JWKB (en tirets) avec
.~
l'état stationnaire exact
13 if!k (x) = ~ .V2 ka sh(7rka) Ki ka(eXl
0 )
Î d'énergie r.;~ (où Kv(z) est une fonction
e
~
de Bessel modifiée). L'écart entre les
~ deux solutions est visible au voisinage
-g du point de rebrou sse ment en x/a "" l .6.
c:
:::l
0
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0.5
- 0.5
-1.0 ~~~~~~~~~~~~~~
- 2
- 1
x/a
257