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Chapitre 13 • Méthodes d'approximation
1989), Hendrik Anthony Kramers (1894-1952) et Gregor Wentzel (1898-1978). La
méthode cherche une solution approchée de l'équation de Schrodinger dans la limite
semiclassique, i.e. en considérant formellement la limite n ~ O. Elle est assez facile à
mettre en œuvre en dimension 1, toutefois sa généralisation en dimension supérieure
est plus délicate.
Intéressons nous à 1 'equation de Schrodinger stationnaire dans une situation unidimensionnelle
n2 d2
E l/f(x) = - 2
m dx 2 l/f(x) + V(x)l/J(x),
(13.25)
que nous étudions dans la limite où n ~ 0 (plus correctement : dans une limite où
l'action caractéristique du problème est » n). Nous commençons par effectuer le
changement de variable :
(13.26)
Nous obtenons facilement l'équation satisfaite par S(x):
[S '(x)] 2 - in S "(x) = 2m[E - V(x)].
(13.27)
Il est commode d'introduire pour la suite la notation
def V
p(x) =
2m[E - V(x)]
p(x) ~ ~2m[V(x) - E]
si E > V(x)
si E < V(x)
::::} [S '(x)] 2 - in S "(x) = + p(x) 2
(13.28)
::::} [S'(x)] 2 - inS"(x) = -p(x) 2 .
(13.29)
Nous cherchons maintenant la solution de 1 'équation différentielle non linéaire (1 3.27) sous la forme d'un développement en puissances den: s (x) = s o(x) +
S L (x)+S 2(x)+· · · où Sn = O(nn). À l' ordre 0 nous obtenons (S~)
2 = 2m[E-V(x)] i.e.
S o(x) = ± fx dx' p(x') si E > V(x)
S o(x) = ±if x dx' p(x')
si E < V(x) .
À l'ordre 1 nous obtenons 2S ~ = inS ~ /S ~i.e S 1 = ~in ln S ~
256
S 1 (x) = ~in ln p(x)
l.n
S i(x) = 2
1 lnp(x)
si E > V(x)
si E < V(x).
(13.30)
(13.31)
(13.32)
(13.33)