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13.3. La méthode JWKB et l'approximation semiclassique
11 est facile de montrer que l'énergie de l'état est Elf!test(a) = 2 ~ 2 + ±aa
4 . Le premier
terme cinétique est minimal lorsque l'état est délocalisé (a ~ oo) ; à l'inverse, le
terme de confinement (énergie potentielle) est minimal lorsque l'extension de l'état
est réduite (a ~ 0). La valeur optimale de a qui minimise Elf!test(a) correspond donc
à un compromis entre ces deux contraintes : on obtient a = a1
1
6 , ce qui nous donne
la valeur approchée de 1 'énergie
E~ar = ~Œl/3
4
(13.24)
On peut la comparer à la valeur trouvée numériquement Eo ::::: 0, 7352a 1 1 3 . Sur
la figure 13.1 , nous comparons la fonction d'onde variationnelle (gaussienne) avec
la fonction d'onde obtenue numériquement. Même si les deux fonctions sont très
proches, un examen attentif montre que la décroissance à grande distance est assez
différente dans les deux cas.
o.s -ln !/Jo(x) --~
"'
0.6
0.4
0.2
-2
0
X
Figure 13. 1- Méthode variationnelle.
Comparaison entre la fonction d'onde test (gaussienne en tirets) et la fonction d'onde
obtenue numériquement. L'insert montre que le comportement asymptotique de cette
dernière , l/fo(x) ~ex p-lx/ "31 3 (pointillés), est assez différent de la gaussienne.
13.3 LA MÉTHODE JWKB ET L'APPROXIMATION
SEM ICLASSIQU E
Une autre méthode d'approximation assez utile en mécanique quantique est la méthode semiclassique, ou méthode BKW ou WKB ou JWKB ou WKBJ, etc, du nom
de quatre de ses promoteurs
2 Léon Brillouin (1889-1969), Harold Jeffreys (18912. La méthode a des origines mathématiques plus anciennes datant de la première moitié du XIXe siècle:
elle est alors appelée méthode de Liouville-Green. La contribution originale de Wentzel, Kramers et
Brillouin est le traitement du raccordement des solutions propagatives aux solutions évanescentes (traitement des points tournants).
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