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> a.
0
u
Chapitre 13 • Méthodes d'approximation
différentes. On comprend mieux que ceci ne peut être valable que dans la limite où
l«Pn IWI 'Pm )1 << IE~ - E~I.
A contrario, l'étude d'une perturbation dans un sous-espace propre G"(E~) montre
quel est l'effet d'une «forte perturbation» (au sein de G"(E~) l'effet de West forcément fort puisqu'il n'y a pas d'autre échelle d'énergie) : levée de dégénérescence
d'ordre W et mélange important des vecteurs propres.
1 3.2 LA MÉTHODE VARIATIONNELLE
Reprenons l'analyse de l'équation (1 3.1 ) : l'idée générale de la méthode variationnelle consiste à proposer une forme approchée pour la solution x!pprox =
X(é; {A1, · · · , Àn}), où la fonction test x peut être une fonction simple paramétrée
par un ou plusieurs paramètres {À1, · · · , Àn} choisi(s) afin d'optimiser la solution. La
mise en œuvre de la méthode variationnelle requiert de faire un choix «raisonnable »
de fonction test x d'une part, et de définir un critère permettant d'optimiser la solution d'autre part. Le critère peut par exemple être la minimisation de f (x!pprox, é).
À première vue il peut ne pas sembler très clair ce qu'on gagne à injecter la forme
x!pprox = X(E; {,1 1 , · · · , Àn}) dans l'équation : notons simplement que la recherche de
la solution xé correspond à chercher une fonction de é (un élément d'un espace fonctionnel de dimension infini) alors que la recherche de x!pprox = X(é; {À1, · · · , Àn})
correspond à chercher quelles valeurs des paramètres optimisent la solution approchée, i.e. à chercher une(des) solution(s) dans un espace de dimension n fini. Laméthode variationnelle cherche donc une solution dans un espace fonctionnel tronqué.
Donnons-en une illustration concrète en mécanique quantique.
Application : état fondamental pour un potentiel quartique
Nous cherchons l'énergie Eo del' état fondamental del' équation de Schrodinger pour
un potentiel quartique
d
2
1
H= - - +-ax
4
dx 2
3
(13.23)
(on a fait n 2 /(2m) = 1 pour alléger; dans ce cas une énergie a la dimension de
[E] = l/[Long]
2 ) . Nous devons proposer une forme approchée. Son choix repose
sur des considérations physiques : la fonction d'onde du fondamental est concentrée autour de zéro, d'autre part elle ne doit pas posséder de nœud. Proposons une
fonction d'onde test sous la forme d'une gaussienne l/Jtest(x) ex: e-!(x/a)
2
, dépendant d'un unique paramètre a. Un critère d'optimisation naturel consiste à minimiser
l'énergie de cet état El/tiesJa) = ( l/Jtest IHI l/Jtest) (le théorème de Ritz nous assure que
E[ l/J] = ( l/J IHI l/J) ;;;<: Eo V 11/1) normalisé, où Eo est 1' énergie fondamentale que 1' on
cherche à approcher).
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Chapitre 13 • Méthodes d'approximation
différentes. On comprend mieux que ceci ne peut être valable que dans la limite où
l«Pn IWI 'Pm )1 << IE~ - E~I.
A contrario, l'étude d'une perturbation dans un sous-espace propre G"(E~) montre
quel est l'effet d'une «forte perturbation» (au sein de G"(E~) l'effet de West forcément fort puisqu'il n'y a pas d'autre échelle d'énergie) : levée de dégénérescence
d'ordre W et mélange important des vecteurs propres.
1 3.2 LA MÉTHODE VARIATIONNELLE
Reprenons l'analyse de l'équation (1 3.1 ) : l'idée générale de la méthode variationnelle consiste à proposer une forme approchée pour la solution x!pprox =
X(é; {A1, · · · , Àn}), où la fonction test x peut être une fonction simple paramétrée
par un ou plusieurs paramètres {À1, · · · , Àn} choisi(s) afin d'optimiser la solution. La
mise en œuvre de la méthode variationnelle requiert de faire un choix «raisonnable »
de fonction test x d'une part, et de définir un critère permettant d'optimiser la solution d'autre part. Le critère peut par exemple être la minimisation de f (x!pprox, é).
À première vue il peut ne pas sembler très clair ce qu'on gagne à injecter la forme
x!pprox = X(E; {,1 1 , · · · , Àn}) dans l'équation : notons simplement que la recherche de
la solution xé correspond à chercher une fonction de é (un élément d'un espace fonctionnel de dimension infini) alors que la recherche de x!pprox = X(é; {À1, · · · , Àn})
correspond à chercher quelles valeurs des paramètres optimisent la solution approchée, i.e. à chercher une(des) solution(s) dans un espace de dimension n fini. Laméthode variationnelle cherche donc une solution dans un espace fonctionnel tronqué.
Donnons-en une illustration concrète en mécanique quantique.
Application : état fondamental pour un potentiel quartique
Nous cherchons l'énergie Eo del' état fondamental del' équation de Schrodinger pour
un potentiel quartique
d
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(on a fait n 2 /(2m) = 1 pour alléger; dans ce cas une énergie a la dimension de
[E] = l/[Long]
2 ) . Nous devons proposer une forme approchée. Son choix repose
sur des considérations physiques : la fonction d'onde du fondamental est concentrée autour de zéro, d'autre part elle ne doit pas posséder de nœud. Proposons une
fonction d'onde test sous la forme d'une gaussienne l/Jtest(x) ex: e-!(x/a)
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, dépendant d'un unique paramètre a. Un critère d'optimisation naturel consiste à minimiser
l'énergie de cet état El/tiesJa) = ( l/Jtest IHI l/Jtest) (le théorème de Ritz nous assure que
E[ l/J] = ( l/J IHI l/J) ;;;<: Eo V 11/1) normalisé, où Eo est 1' énergie fondamentale que 1' on
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