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13. 1. Méthode des perturbations - cas stationnaire
au problème de la diagonalisation d ' une matrice de dimension dn. Nous notons s 1 ,j
et 1 {/Jn ,j ) les dn couples de valeurs propres et vecteurs propres de la matrice dn X dn
représentant l'opérateur wC.SC~)) ~ lln Wlln. Les valeurs propres de H, à l'ordre 1
dans la perturbation, sont données par :
1 En,j = E~ + s1,j + O(W
2
) 1
(13.18)
On parle de levée de dégénérescence (partielle ou totale). Les nouveaux vecteurs
propres l[/Jn,j) sont obtenus à l'ordre 0 dans la perturbation, puisqu' ils sont vecteurs
propres d' une matrice, wc 0 <~)), dont tous les éléments sont du même ordre.
• Illustration
Pour bien insister sur la simplification que constitue la résolution de (1 3.17) (plutôt
que l'équation exacte (Ho+ W)ll/J) = Ell/J)), considérons l' hamiltonien
Eo 0 0
1
0 Eo 0
1
H= 0 0 Eo
2
0 0 0
0
0
0
Eo
3
.. .
...
...
.
0 W12 W1 3 W14
w; 2 0 W23 W24
+ w; 3 w; 3 o W34
w; 4 w; 4 w; 4 o
(13.19)
où nous supposons que E? est la seule valeur propre dégénérée de Ho. La restriction
ll1 Wll1 de la perturbation dans le sous espace propre G°(E?) correspond au premier
bloc 2 x 2 sur la diagonale. En utilisant la méthode des perturbations on obtient
immédiatement les valeurs propres à l'ordre W
1 et les vecteurs propres correspondant
(à l'ordre w 0 )
E1,2 = E? + IW12I + O(W
2
)
E2 = Eg + O(W
2 )
• Conclusion
1
.
---7 l{/J 1,1) = Y2[l<,01 ,1 ) - e11
pl<,01 ,2 )] (13.20)
1
.
---7 1 [/J1,2 > = Y2 [I <,01,1 > + e-•cp1 <,01,2 >] (13.21)
---7 1 <,02 >
(13.22)
À l'ordre 1, la méthode des perturbations consiste donc à négli ger tous les éléments
de matrice de W couplant des vecteurs propres de Ho associés à des valeurs propres
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