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Chapitre 13 • Méthodes d'approximation
• Qu'est-ce qu'une petite perturbation?
Cette expression nous permet de constater que le développement précédent n'a un
sens que lorsque les éléments de matrice ('Pm IWI 'Pn ), i.e. les couplages, sont plus
petits que les différences d'énergies E~ - E~.
• Illustration
Considérons 1 'hamiltonien représenté par la matrice :
(13.13)
Nous supposons que les éléments de matrice de W sont beaucoup plus petits que la
différence E? - E~. En utilisant (1 3.12) nous obtenons:
o
1w121
2
E1 = E + W1 +
+ ···
i
.
Eo - Eo
l
2
(13.14)
Ce résultat peut être comparé avec les expressions obtenues au chapitre 5 :
(13.15)
Nous vérifions que pour E? > E~, le développement de E+ coïncide avec (1 3.14).
1 3.1.4 Valeur propre de Ho dégénérée
Supposons maintenant que la valeur propre t:o = E~ est dégénérée, associée à dn
vecteurs propres 1 'Pn, j ), avec j = 1, · · · , dn. Notons le sous espace propre c:&"(E~).
Le vecteur 1 0 ) appartient à ce sous-espace. Introduisons le projecteur dans le sous
espace:
dn
def '\"1
IIn = L.J 1 'Pn,j )( 'Pn,j 1.
j = l
La multiplication par IIn de (1 3.7) conduit à IIn WI 0) + IInHol 1)
E~IInl 1 ), i.e.
(13.16)
(13.17)
Cette équation est une équation aux valeurs propres, correspondant à la diagonalisation de la restriction de l'opérateur W au sous espace propre c:&"(E~). Par rapport à
la question initiale de diagonalisation de Ho + W dans l' espace de Hilbert complet
(en général de dimension infinie), nous avons simplifié le problème en nous ramenant
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