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13. 1. Méthode des perturbations - cas stationnaire
La première équation nous montre que 10) et so sont respectivement valeur propre
et vecteur propre de Ho (évidemment). Nous examinons successivement le cas où la
valeur propre est non dégénérée, puis le cas où elle est dégénérée.
Normalisation. La condition de normalisation ( !/f 1 !/f) = 1 conduit à un ensemble
d'équations sur les 1 n ). Puisque 10) est vecteur propre de H 0 , il est normalisé
( 010) = 1. Nous obtenons donc les équations suivantes ( 011 ) + ( 110) = 0,
( 012) + ( 111 ) + ( 210) = 0, etc.
1 3.1.3 Valeur propre de Ho non dégénérée
so correspond à une des valeurs propres de Ho : t:o = E~ et 10) = 1 'Pn ). La multiplication par la gauche de ( 13. 7) par le bra ( 'Pn 1 nous donne immédiatement :
(13.9)
Si maintenant nous multiplions l'équation (13.7) par ('Pm I, avec m * n, nous obtenons
1' expression de la composante du vecteur 11 ) sur le vecteur propre 1 'Pm ) de Ho :
(13.10)
ce qui conduit à
1
1 ) 1 )
~ 1 ) ('Pm IWI 'Pn) + O(W2)
!/ln = 'Pn + L.J 'Pm EO - EO
m t.q. m:f.n
n
m
(13.11)
En l'absence de dégénérescence, et puisque l'état propre de H est « proche » de celui
de Ho , nous pouvons indicer les états propres de H par le même nombre quantique
(ici n).
Nous pouvons facilement obtenir la correction d' ordre 2 à l'énergie. Pour cela nous
multiplions par le bra (cpn ! l' équation ( 13.8), ce qui conduit à t:2 = (cpn IWI 1 ). Nous
utilisons 1' expression de 11 ) trouvée ci-dessus. Finalement :
En= E~ + (cpnlWlcpn) + I
m t.q. m:f.n
1( 'Pm IWI 'Pn )1
2 + O(W3)
Eo-Eo n
m
(13.12)
1. Remarquons que la condition de normalisation nous a donné la condition Re( 011 ) = O. Nous justifions maintenant qu'il est toutefois possible de choisir le vecteur de telle sorte que ( 011 ) = O. Imaginons que l' équation ( 13. 11 ) contienne un terme ial 'Pn) d 'ordre W 1 . La normalisation impose a E R
Un tel terme peut toujours être éliminé grâce à la multiplication du vecteur par une phase globale :
e- ia [I 'Pn) + ial cp,,) + l l ) + O(W 2 ) ] = 1cp,,)+ 11 ) + O(w2). QED.
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La première équation nous montre que 10) et so sont respectivement valeur propre
et vecteur propre de Ho (évidemment). Nous examinons successivement le cas où la
valeur propre est non dégénérée, puis le cas où elle est dégénérée.
Normalisation. La condition de normalisation ( !/f 1 !/f) = 1 conduit à un ensemble
d'équations sur les 1 n ). Puisque 10) est vecteur propre de H 0 , il est normalisé
( 010) = 1. Nous obtenons donc les équations suivantes ( 011 ) + ( 110) = 0,
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1 3.1.3 Valeur propre de Ho non dégénérée
so correspond à une des valeurs propres de Ho : t:o = E~ et 10) = 1 'Pn ). La multiplication par la gauche de ( 13. 7) par le bra ( 'Pn 1 nous donne immédiatement :
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Si maintenant nous multiplions l'équation (13.7) par ('Pm I, avec m * n, nous obtenons
1' expression de la composante du vecteur 11 ) sur le vecteur propre 1 'Pm ) de Ho :
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utilisons 1' expression de 11 ) trouvée ci-dessus. Finalement :
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1. Remarquons que la condition de normalisation nous a donné la condition Re( 011 ) = O. Nous justifions maintenant qu'il est toutefois possible de choisir le vecteur de telle sorte que ( 011 ) = O. Imaginons que l' équation ( 13. 11 ) contienne un terme ial 'Pn) d 'ordre W 1 . La normalisation impose a E R
Un tel terme peut toujours être éliminé grâce à la multiplication du vecteur par une phase globale :
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