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Chapitre 13 • Méthodes d'approximation
L'annulation du terme d'ordre 2 de f (xo + x 1 + · · · , E) = 0 nous donnerait x2 en fonction de xo et x1. Etc. Si le développement de xé est convergent, on peut en principe
s'approcher autant qu'on le souhaite de la solution exacte.
Exercice 1 3. 1 (F) Résoudre 1 'équation E x 3 + x
2 - 1 = 0 dans la limite E ~ 0 en
utilisant la méthode des perturbations. La méthode permet-elle ici d'obtenir toutes
les solutions?
1 3.1.2 Position du problème
Appliquons cette idée pour la recherche du spectre de valeurs propres d'un opérateur.
Cherchons le spectre de 1 'hamiltonien H = Ho + W, somme de 1 'hamiltonien Ho
dont le spectre est supposé connu et de la « petite » perturbation W (il faudra préciser
ce que nous entendons par « petite » ). Il paraît raisonnable de supposer que les états
propres et les valeurs propres de H sont très voisins de ceux de Ho. Nous exploitons
cette remarque pour chercher états propres et valeurs propres de H sous la forme d'un
développement en puissances de la perturbation W.
Nous notons 1 'Pn ), E~ les vecteurs propres et les valeurs propres de Ho. Tous ces
vecteurs propres et valeurs propres sont supposés connus. Nous cherchons l'état
propre et la valeur propre de H sous la forme de développements :
11/1) = 10) + 11>+12) + · · ·
E = co + c1 + c2 + · · ·
(13.3)
(13.4)
où « 1 n) = O(Wn) » et « en = O(Wn) » Nous utiliserons la notation « O(Wn) » pour désigner un terme d ' ordre n dans la perturbation W (plus précisément dans une échelle
caractérisant la perturbation). Nous injectons ces développements dans l'équation
aux valeurs propres Hl If!) = El If!) :
(Ho+ W)(I 0) + 11) + 12) + · · ·) = (co + t:1 + c2 + · · · )(10) + 11) + 12) + · · ·) (13.5)
et identifions les termes d'ordre n dans la perturbation :
Ho 10) = t:o 10)
W 10) + Ho 11 ) = t:1 10) + co 11 )
W 11) + Ho 12) = t:2 I 0) + c1 11) + co 12)
(13.6)
(13.7)
(13.8)
L'idée de la résolution est récursive: on résout l'équation à l' ordre O. On utilise cette
solution pour résoudre celle à 1' ordre 1, etc.
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Chapitre 13 • Méthodes d'approximation
L'annulation du terme d'ordre 2 de f (xo + x 1 + · · · , E) = 0 nous donnerait x2 en fonction de xo et x1. Etc. Si le développement de xé est convergent, on peut en principe
s'approcher autant qu'on le souhaite de la solution exacte.
Exercice 1 3. 1 (F) Résoudre 1 'équation E x 3 + x
2 - 1 = 0 dans la limite E ~ 0 en
utilisant la méthode des perturbations. La méthode permet-elle ici d'obtenir toutes
les solutions?
1 3.1.2 Position du problème
Appliquons cette idée pour la recherche du spectre de valeurs propres d'un opérateur.
Cherchons le spectre de 1 'hamiltonien H = Ho + W, somme de 1 'hamiltonien Ho
dont le spectre est supposé connu et de la « petite » perturbation W (il faudra préciser
ce que nous entendons par « petite » ). Il paraît raisonnable de supposer que les états
propres et les valeurs propres de H sont très voisins de ceux de Ho. Nous exploitons
cette remarque pour chercher états propres et valeurs propres de H sous la forme d'un
développement en puissances de la perturbation W.
Nous notons 1 'Pn ), E~ les vecteurs propres et les valeurs propres de Ho. Tous ces
vecteurs propres et valeurs propres sont supposés connus. Nous cherchons l'état
propre et la valeur propre de H sous la forme de développements :
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E = co + c1 + c2 + · · ·
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où « 1 n) = O(Wn) » et « en = O(Wn) » Nous utiliserons la notation « O(Wn) » pour désigner un terme d ' ordre n dans la perturbation W (plus précisément dans une échelle
caractérisant la perturbation). Nous injectons ces développements dans l'équation
aux valeurs propres Hl If!) = El If!) :
(Ho+ W)(I 0) + 11) + 12) + · · ·) = (co + t:1 + c2 + · · · )(10) + 11) + 12) + · · ·) (13.5)
et identifions les termes d'ordre n dans la perturbation :
Ho 10) = t:o 10)
W 10) + Ho 11 ) = t:1 10) + co 11 )
W 11) + Ho 12) = t:2 I 0) + c1 11) + co 12)
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L'idée de la résolution est récursive: on résout l'équation à l' ordre O. On utilise cette
solution pour résoudre celle à 1' ordre 1, etc.
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