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MÉTHODES
D'APPROXIMATION
13
Jusqu'à présent nous avons étudié l'équation de Schrodinger dans des cas où il existait une solution analytique : boîte quantique, oscillateur harmonique, états propres
du moment cinétique, atome d'hydrogène. Pour le mécanicien quantique cette situation est toutefois plutôt exceptionnelle et 1' étude d'un problème réaliste nécessite
bien souvent d'avoir recours à des méthodes d'approximation. Dans ce chapitre, nous
décrivons plusieurs méthodes d'approximation : la méthode des perturbations, dans
le cas d' une perturbation stationnaire (le cas où la perturbation dépend du temps sera
discuté au chapitre 15). Dans une très brève section, nous donnons l'idée de laméthode variationnelle. Enfin nous décrivons rapidement la méthode JWKB (approximation semiclassique ).
La méthode des perturbations, qui sera discutée le plus en détail, trouvera plusieurs
applications (problèmes en annexe et chapitres ultérieurs).
1 3. 1 MÉTHODE DES PERTURBATIONS
- CAS STATIONNAIRE
l 3.1. l Principe de la méthode
Elle trouve son intérêt lorsqu'on connait une solution d'un problème «proche» du
problème considéré. Par exemple, nous cherchons les solutions de 1 'équation
f(x, E) = 0
(13.1)
où E est un paramètre et x l'inconnue. Supposons que nous ne soyons pas capable
de résoudre 1 'équation, sauf pour la valeur du paramètre E = 0 : nous notons xo la
solution de f(x, 0) = O. L' idée est de chercher la solution de (1 3.1), notée xE, sous la
forme d'un développement en puissance du paramètre xE = xo + x1 + x2 + · · · (où Xn =
O(~)). Nous l'injectons dans (13.1): f(xo + x1 + · · · , E) = f(xo, 0) + [x1~~(xo,0) +
E~~(x 0 , O)] + 0(E 2 ) = O. En assurant que l'équation est satisfaite à chaque ordre en E,
on trouve récursivement les corrections perturbatives. Terme d'ordre 0 : f (xo, 0) = O.
af
af
Terme d'ordre 1: x 1 ax(x 0 ,0) + E 8 E(x 0 , 0) =O. On trouve x 1 :
(13.2)
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