-0
0
c
:J
0
lil
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
> a.
0
u
Chapitre 12 • Atome d'hydrogène
quantique e trouve son origine dans une symétrie propre au cas du potentiel central
en l/r (et de l'oscillateur harmonique isotrope 3D). Cette symétrie est associée à la
conservation du vecteur de Laplace-Runge-Lenz K = t.P x l- e
2
r L'existence de
cette loi de conservation était connue en astronomie (elle est liée à 1 'intégrabilité du
problème dans un champ de force en 1/r
2 , i.e. à l'existence de trajectoires elliptiques
fermées ; le vecteur de Lenz peut en effet être relié à 1' excentricité de la trajectoire
elliptique). La symétrie complète de l'hamiltonien est générée par les six opérateurs
let K dont les composantes satisfont à l'algèbre de Lie du groupe S0(4), le groupe
des rotations dans R
4 (cf. exercice 12.4).
Finalement, la dégénérescence du niveau En est donnée par
n-1
dn = L: (2l + 1) = n
2
,
f=O
(12.20)
ou plutôt dn = 2n 2 si on prend en compte la dégénérescence de spin de 1' électron.
Les fonctions d' onde complètes sont étiquetées par trois nombres quantiques :
11/Jn,e,m(T) = Rn,e(r) Yt(B,
Comme on a vu plus haut, la partie radiale de la fonction d'onde s'exprime en terme
des polynômes de Laguerre (définis dans l'annexe A )
2 e+1
Rn,e(r) = e+2
n
(n - e - 1)! (!_)e L2e+1 (2r/na ) e-r/nao.
3 (
f)I
n-f- 1
0
a 0 n + . ao
(12.22)
Ces fonctions sont normalisées comme J;' dr r
2
R~./r) = 1. On peut calculer les
premières fonctions radiales : R1,o(r) = 2e-r, R2,o(r) = ~(l - r/2)e-rf
2 , R2,1(r) =
! 17 re-rf 2 (on a fait ao = 1).
2 v6
Pour désigner les différents niveaux (n, l), on utilise couramment les notations
spectroscopiques données dans le tableau 12.1.
242
Tableau 12.1 - Notations spectroscopiques.
Dans la dernière colonne, nous indiquons le nombre maximal d'électrons occupant un
niveau pour net e fixés.
moment f
notation
2(2f + 1)
0
~
s
2
1
~
p
6
2
~
d
10
3
~
f
14
0
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Chapitre 12 • Atome d'hydrogène
quantique e trouve son origine dans une symétrie propre au cas du potentiel central
en l/r (et de l'oscillateur harmonique isotrope 3D). Cette symétrie est associée à la
conservation du vecteur de Laplace-Runge-Lenz K = t.P x l- e
2
r L'existence de
cette loi de conservation était connue en astronomie (elle est liée à 1 'intégrabilité du
problème dans un champ de force en 1/r
2 , i.e. à l'existence de trajectoires elliptiques
fermées ; le vecteur de Lenz peut en effet être relié à 1' excentricité de la trajectoire
elliptique). La symétrie complète de l'hamiltonien est générée par les six opérateurs
let K dont les composantes satisfont à l'algèbre de Lie du groupe S0(4), le groupe
des rotations dans R
4 (cf. exercice 12.4).
Finalement, la dégénérescence du niveau En est donnée par
n-1
dn = L: (2l + 1) = n
2
,
f=O
(12.20)
ou plutôt dn = 2n 2 si on prend en compte la dégénérescence de spin de 1' électron.
Les fonctions d' onde complètes sont étiquetées par trois nombres quantiques :
11/Jn,e,m(T) = Rn,e(r) Yt(B,
Comme on a vu plus haut, la partie radiale de la fonction d'onde s'exprime en terme
des polynômes de Laguerre (définis dans l'annexe A )
2 e+1
Rn,e(r) = e+2
n
(n - e - 1)! (!_)e L2e+1 (2r/na ) e-r/nao.
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(12.22)
Ces fonctions sont normalisées comme J;' dr r
2
R~./r) = 1. On peut calculer les
premières fonctions radiales : R1,o(r) = 2e-r, R2,o(r) = ~(l - r/2)e-rf
2 , R2,1(r) =
! 17 re-rf 2 (on a fait ao = 1).
2 v6
Pour désigner les différents niveaux (n, l), on utilise couramment les notations
spectroscopiques données dans le tableau 12.1.
242
Tableau 12.1 - Notations spectroscopiques.
Dans la dernière colonne, nous indiquons le nombre maximal d'électrons occupant un
niveau pour net e fixés.
moment f
notation
2(2f + 1)
0
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