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12.1. Atome d'hydrogène
états
liés
R=o R= I R=2 R= 3 R=4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
-· - ____.___ __.____ __.__ -· - --· - - - ...
n = 4
___As_
4p
4d ___:l.L - -
n=3
E 1 : énergie
d'ionisation
n ~ Jî- ls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Figure 12.2 - Spectre des états liés de l'atome d'hydrogène.
Chaque barre représente les U + l états quantiques lf!n.e,-e, ... , l/Jn,e,+e· La partie E > 0
correspond aux états de diffusion (spectre continu), que nous n'étudions pas ici (état
ionisé de l'atome).
relation de récurrence sur les coefficients : as = 2 s~~~:i'J:i) as- l· L'analyse du comportement à s ~ oo donne as ~ :~as- 1 =::::} as , . . . , C
2
s Y =::::} y(p) ,..., e+
2 KP. Ceci nous
montre que la solution n'est normalisable que si la série s'arrête : as = 0 pour s ; : ; : : : p
où p E N*. L'équation de quantification est donc ici 1 ap = 0 I• i.e. K(p + f) = 1. Le
paramètre Kp, e = l /(p + f) est quantifié, et donc l' énergie est également quantifiée :
4
Ep, e = -i~2 (p~f)2 pour p E N* et e E N. Nous remarquons toutefois que les énergies ne dépendent pas des deux nombres quantiques pet e indépendamment, mais
uniquement de leur somme n = p + e.
c) Nombres quantiques, dégénérescences et notations
spectroscopiques
Nous introduisons n = f + p, appelé nombre quantique principal. Nous écrivons :
µe
4 1
E - - - -
n -
2-n.2 n 2
pour 1 n E N* et e = 0, .. . , n - i I
Le spectre des énergies est représenté sur la figure 12.2.
(12.19)
Nous analysons maintenant les dégénérescences des mveaux d'énergie. Tout
d'abord les énergies sont indépendantes du nombre quantique m, ce qui traduit l'invariance par rotation du problème. La dégénérescence des niveaux selon le nombre
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