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0
N
@
.......
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O'l
·;::::
> a.
0
u
Chapitre 12 • Atome d'hydrogène
réduiteµ est très proche de me. Nous définissons donc p ~ r/ao et K
2
~ - 2n
2 E/µ e
4 •
Dans la nouvelle variable, nous notons la fonction d'onde : x(p) = r R(r). Elle obéit
à l'équation :
(
d2 - ece + 1) + ~) x(p) = K2x(p).
dp2
p2
p
(12.16)
• Étape 2: Nous étudions les comportements asymptotiques de la solution. D'abord
le comportement à l' origine. Dans ce cas c'est le terme répulsif qui domine et l'on
peut écrire que
(
d
2
_ ece + 1)) x(p) ~ 0
dp2
p2
pour p ---7 O.
(12.17)
Nous déduisons que x(p) oc p e+i. La fonction radiale se comporte donc comme
1
R(r) oc l.
Si l' on considère le comportement à l' infini, on peut négliger les termes potentiels
dans (12.17), dOnC x(p) OC e-Kp.
• Étape 3 : Ces deux remarques nous conduisent à poser x(p) = p t+ I y(p) e - Kp. La
normalisabilité impose que la fonction y(p) croisse à l' infini moins vite que eKP. Nous
aboutissons à l'équation de Laguerre (cf. annexe A)
P y" (p) + 2 ce + 1 - KP) y' (p) + 2 [ 1 - K( e + 1)] y(p) = o.
(12.18)
Elle n'admet de solutions normalisables au sens fo
00
dp p 2 e+ 2 y(p) 2 e- 2 KP < oo que si
3 p E N* t.q. K(p + l) - 1 = O. La solution est un polynôme de Laguerre : Yp, e(p) =
L;~~
1
(2p/(p + l)).
• Méthode alternative pour obtenir/' équation de quantification
La structure de l'équation différentielle linéaire, une combinaison linéaire de polynomes (de degré 1) que multiplient des dérivées de y, suggère de chercher la solution de (1 2.1 8) sous la forme d' une série entière y(p) = L:o asps ; ayant extrait le
comportement p t à l'origine, la fonction doit tendre vers une constante à l'origine,
a 0 * 0; d'autre part nous avons extrait de x(p) le comportement exponentiel e - Kp ce
qui impose à y(p) de croître moins vite qu'une exponentielle à l'infini. En injectant
la série y(p) = L:o asps dans l 'équation différentielle (1 2.18), nous obtenons une
1. La solution de (1 2. 17) conduit à deux solutionsx(p) ex pe+ i etx(p) ex p- e. Pour e > 0 la deuxième
solution correspond à une fonction non normalisable (il faut que J; dp x
2 (p) < oo ). Dans le cas
l = 0, la solution x(p) ~ este pour p ~ 0 est normalisable. Un examen plus attentif montre que
cette solution n' est pas acceptable. En effet,x(p) ~este correspond à R(r) ex 1/r. Or l'action du Laplacien sur l/ r génère un ode Dirac absent dans l'équation de Schrodinger (rappelons que~; = - 4no(f),
cf. annexe 2.B).
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Chapitre 12 • Atome d'hydrogène
réduiteµ est très proche de me. Nous définissons donc p ~ r/ao et K
2
~ - 2n
2 E/µ e
4 •
Dans la nouvelle variable, nous notons la fonction d'onde : x(p) = r R(r). Elle obéit
à l'équation :
(
d2 - ece + 1) + ~) x(p) = K2x(p).
dp2
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(12.16)
• Étape 2: Nous étudions les comportements asymptotiques de la solution. D'abord
le comportement à l' origine. Dans ce cas c'est le terme répulsif qui domine et l'on
peut écrire que
(
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_ ece + 1)) x(p) ~ 0
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pour p ---7 O.
(12.17)
Nous déduisons que x(p) oc p e+i. La fonction radiale se comporte donc comme
1
R(r) oc l.
Si l' on considère le comportement à l' infini, on peut négliger les termes potentiels
dans (12.17), dOnC x(p) OC e-Kp.
• Étape 3 : Ces deux remarques nous conduisent à poser x(p) = p t+ I y(p) e - Kp. La
normalisabilité impose que la fonction y(p) croisse à l' infini moins vite que eKP. Nous
aboutissons à l'équation de Laguerre (cf. annexe A)
P y" (p) + 2 ce + 1 - KP) y' (p) + 2 [ 1 - K( e + 1)] y(p) = o.
(12.18)
Elle n'admet de solutions normalisables au sens fo
00
dp p 2 e+ 2 y(p) 2 e- 2 KP < oo que si
3 p E N* t.q. K(p + l) - 1 = O. La solution est un polynôme de Laguerre : Yp, e(p) =
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1
(2p/(p + l)).
• Méthode alternative pour obtenir/' équation de quantification
La structure de l'équation différentielle linéaire, une combinaison linéaire de polynomes (de degré 1) que multiplient des dérivées de y, suggère de chercher la solution de (1 2.1 8) sous la forme d' une série entière y(p) = L:o asps ; ayant extrait le
comportement p t à l'origine, la fonction doit tendre vers une constante à l'origine,
a 0 * 0; d'autre part nous avons extrait de x(p) le comportement exponentiel e - Kp ce
qui impose à y(p) de croître moins vite qu'une exponentielle à l'infini. En injectant
la série y(p) = L:o asps dans l 'équation différentielle (1 2.18), nous obtenons une
1. La solution de (1 2. 17) conduit à deux solutionsx(p) ex pe+ i etx(p) ex p- e. Pour e > 0 la deuxième
solution correspond à une fonction non normalisable (il faut que J; dp x
2 (p) < oo ). Dans le cas
l = 0, la solution x(p) ~ este pour p ~ 0 est normalisable. Un examen plus attentif montre que
cette solution n' est pas acceptable. En effet,x(p) ~este correspond à R(r) ex 1/r. Or l'action du Laplacien sur l/ r génère un ode Dirac absent dans l'équation de Schrodinger (rappelons que~; = - 4no(f),
cf. annexe 2.B).
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