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12.1. Atome d'hydrogène
a) Discussion qualitative et approximation harmonique
Avant de rentrer dans le vif (des calculs) analysons qualitativement le problème. Pour
chaque valeur de e, nous nous sommes ramenés à une équation de Schrodinger unidimensionnelle pour le potentiel effectif Ve(r) , représenté sur la figure 12.1. Pour
chaque valeur de e, il existe un spectre de valeurs propres (non dégénérées) que nous
notons Ep, e où p E N* est un nombre quantique repérant les différents niveaux (représentés sur la figure 12. 1). L'exercice ci-dessous propose d ' obtenir une estimation
de ce spectre en utilisant une approximation harmonique (chapitre 7).
r.
0.00 >--+~-----------___,
Figure 12.1 - Potentiel effectif Vt(r).
À chaque valeur de e correspond un
spectre de valeurs propres Ep,e avec p EN*.
"'"<:i.>
:::t. - 0.01
-
"" -i:: - 0.02
(")
....--._
6 - 0.03
~ - 004
1--C::-----~~~
50
100
150
200
250
r/ao
Exercice 1 2.1 (D) On note r* la position du minimum du potentiel Ve(r). Développer Ve(r) au voisinage de son minimum. Utiliser une approximation harmonique
pour trouver les premiers niveaux d' énergie. Discuter la validité de 1' approximation
et montrer que les niveaux sont donnés par
E e ' . : ' . : : ' . µe4 [-I_ + 2p + .. ·]
p,
2n2
& e3
avec p E N* .
(12.14)
Comparer avec le résultat exact obtenu plus bas.
b) Équation de quantification
Revenons à la résolution de l'équation différentielle (1 2.13). Nous suivons la démarche présentée pour résoudre 1 'équation de Schrodinger pour 1' oscillateur harmomque.
• Étape 1 : Nous introduisons des variables adimensionnées. La longueur caractéristique est
def fi
2
ao = - 2
,
(12.15)
µ e
qui diffère légèrement du rayon de Bohr, défini comme aB ~ h
2
2 : en effet, la masse
mee
du proton étant beaucoup plus grande que celle de l'électron, mp ' . : ' . : : ' . 1800me, la masse
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