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> a.
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Chapitre 12 • Atome d'hydrogène
• Vitesse
Les valeurs moyennes des énergies cinétique et potentielle sont simplement reliées à
l'énergie totale (mécanique) : E = -(Ec) = !
l'état d'énergie E =-Rest v ~ œc;::::; 2200 km/s. L' électron tourne vite.
• Impulsion
Nous pouvons obtenir une impulsion, soit en partant d'une longueur et en utilisant
l'équation de Broglie, soit à partir de la vitesse. Nous aboutissons à p ~ n/as = œmec.
12.1.3 Résolution de l'équation de Schrôdinger
pour un potentiel coulombien
Revenons à la résolution de l'équation de Schrodinger. Nous connaissons les états
propres de l'énergie du centre de masse H em = f~ : il s'agit des ondes planes. Il nous
reste à déterminer les états propres de 1 'hamiltonien relatif:
p2
H = - + V(r) avec
2µ
e2
V(r) = - - .
r
(12.11)
Par la suite nous nous intéressons à l'atome, i.e. à une situation où le proton et l' électron sont liés. Nous nous concentrerons donc sur l'étude des états liés d'énergies
E < 0.
La commutation de H avec l'opérateur de moment cinétique ê = r x p (l'inva~
riance par rotation) [f , H] = 0 nous permet de chercher des états propres communs
aux trois opérateurs H, l2 et fz (qui forment un ECOC dans l' espace de Hilbert des
coordonnées relatives). Nous cherchons donc des fonctions d ' onde de la forme:
tft(r) = R(r) Y;2(8,
En utilisant l'expression (8.57) du Laplacien, nous voyons que la fonction R(r) est
solution de l'équation
(
n
2 d
2
n
2 f(f + 1) e
2
)
- - - - +
- - rR(r) = ErR(r).
2µdr 2
2µr 2
r
(12.13)
Grâce à l 'invariance par rotation, nous avons pu nous ramener à un problème effecti·d·
.
1
. 1 a: "f V ( )
-n2e(C+l )
e2
, . ,
vement um 1mens10nne , pour un potent1e e11ect1 e r = 2
µ r 2 - r , caractense
par une partie répulsive à r ~ 0 (pour e * 0) et une partie attractive à r ~ oo.
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• Vitesse
Les valeurs moyennes des énergies cinétique et potentielle sont simplement reliées à
l'énergie totale (mécanique) : E = -(Ec) = !
l'état d'énergie E =-Rest v ~ œc;::::; 2200 km/s. L' électron tourne vite.
• Impulsion
Nous pouvons obtenir une impulsion, soit en partant d'une longueur et en utilisant
l'équation de Broglie, soit à partir de la vitesse. Nous aboutissons à p ~ n/as = œmec.
12.1.3 Résolution de l'équation de Schrôdinger
pour un potentiel coulombien
Revenons à la résolution de l'équation de Schrodinger. Nous connaissons les états
propres de l'énergie du centre de masse H em = f~ : il s'agit des ondes planes. Il nous
reste à déterminer les états propres de 1 'hamiltonien relatif:
p2
H = - + V(r) avec
2µ
e2
V(r) = - - .
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(12.11)
Par la suite nous nous intéressons à l'atome, i.e. à une situation où le proton et l' électron sont liés. Nous nous concentrerons donc sur l'étude des états liés d'énergies
E < 0.
La commutation de H avec l'opérateur de moment cinétique ê = r x p (l'inva~
riance par rotation) [f , H] = 0 nous permet de chercher des états propres communs
aux trois opérateurs H, l2 et fz (qui forment un ECOC dans l' espace de Hilbert des
coordonnées relatives). Nous cherchons donc des fonctions d ' onde de la forme:
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En utilisant l'expression (8.57) du Laplacien, nous voyons que la fonction R(r) est
solution de l'équation
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- - rR(r) = ErR(r).
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Grâce à l 'invariance par rotation, nous avons pu nous ramener à un problème effecti·d·
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µ r 2 - r , caractense
par une partie répulsive à r ~ 0 (pour e * 0) et une partie attractive à r ~ oo.
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