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Chapitre 12 • Atome d'hydrogène
et d'autre part la coordonnée relative et la vitesse relative
et
--+
--+
--+
V= VJ - V2.
(12.3)
Nous voyons que l'énergie cinétique s'exprime comme ~m 1 ü 1
2 + ~m 2 ü 2
2 = ~MV
2
+
-
2
1 µü
2 où M = m 1 + m 2 et l ~ _L + -
1 sont respectivement la masse totale et la masse
µ
m, m 2
réduite. Nous introduisons les moments conjugués correspondant
--+
--+
--+
P =Pl+ P2
et
--+
--+
Pl
P2
(12.4)
On vérifie que les couples de nouvelles variables satisfont des relations de commutation canoniques : [Rx, Px] = [rx, Px] = · · · = in et [Rx, Px] = [rx, Px] = · · · = O.
Finalement l'hamiltonien prend la forme :
p2 p2
Hatome = -
+ - + V(r)
2M
2µ
(12.5)
c'est-à-dire que les nouvelles variables sont découplées (le problème est séparable).
12.1.2 Les échelles atomiques
11 est important d'avoir en tête les ordres de grandeur caractérisant l'atome d'hydrogène. Écrivons le potentiel coulombien comme V(r) = - e: . Avant même de résoudre
1' équation de Schrodinger, on peut chercher quelles seront les échelles caractéristiques du problème. Utilisons l'analyse dimensionnelle pour cela. L' objet du chapitre
est de développer une théorie quantique de l'atome d'hydrogène. Le problème fait
donc intervenir trois paramètres : n, la masse de l'électron me et la constante de couplage coulombien e
2 . Nous «fabriquons» des échelles de longueur, énergie, etc., à
partir de ces trois ingrédients.
• Constante de couplage
La constante de couplage coulombien est :
2
e
2
~ !l!:...._ = 14.399 644 (1) eV À
4rrEo
Elle a la même dimension que le produit de constantes fondamentales :
ne = 1973 .269 68 (17) eV À
236
(12.6)
(1 2.7)