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ATOME
D'HYDROGÈNE
12
Dans ce chapitre, nous présentons la théorie quantique (non relativiste) de l'atome
d'hydrogène. Parmi les problèmes de la théorie classique, nous avions mentionné la
question de la stabilité des atomes ; dès le début du cours nous avons montré, en analysant le problème du puits quantique, comment la mécanique quantique résout ce
problème. Cela nous avait conduit à l'idée de quantification du spectre des énergies
dans les problèmes d'états liés. Dans le présent chapitre nous dépasserons cette analyse qualitative pour faire des prédictions quantitatives (spectre des énergies, fonctions d'onde). Étudier l'atome d'hydrogène correspond à étudier les états liés d'un
système proton-électron (notons que l'étude du problème de diffusion, que nous ne
mènerons pas, serait également très intéressante). En se plaçant dans le référentiel
du centre de masse (qui correspond à peu de chose près au référentiel du proton) le
problème se ramène à 1 'étude d'une particule fictive soumise à une force centrale en
1/r2. Nous verrons que l' équation de Schrodinger peut être résolue exactement dans
ce cas. Ces résultats jouent un rôle très important : ils permettent notamment d' introduire des idées et le vocabulaire (notations spectroscopiques) utilisés en physique
atomique.
1 2.1 ATOME D'HYDROGÈNE
12.1.1 Séparation des variables
L'espace de Hilbert du système est un produit tensoriel ~roton ® ~lectron (nous
oublierons le spin qui jouera peu de rôle dans ce chapitre). Nous notons r1' Pl (resp.
r2, f12) la position et l'impulsion de l'électron (resp. du proton). L'hamiltonien du
système est donné par :
-+2
-+ 2
Pl
P2
Hatome = - - + - - + V(r)
2m1
2m2
où
(12.1)
2
V(r) = - 4 ;~r = -e
2 /r est le potentiel coulombien.
La première étape consiste à rendre le problème séparable. Pour cela nous introduisons deux couples de variables : d'une part la position et la vitesse du centre de
masse
-+
ml r1 + m 2 r2
R=----m1 +m2
et
-+
-+
V= m1v1 + m2v2
mi +m2
(12.2)
235
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problème. Cela nous avait conduit à l'idée de quantification du spectre des énergies
dans les problèmes d'états liés. Dans le présent chapitre nous dépasserons cette analyse qualitative pour faire des prédictions quantitatives (spectre des énergies, fonctions d'onde). Étudier l'atome d'hydrogène correspond à étudier les états liés d'un
système proton-électron (notons que l'étude du problème de diffusion, que nous ne
mènerons pas, serait également très intéressante). En se plaçant dans le référentiel
du centre de masse (qui correspond à peu de chose près au référentiel du proton) le
problème se ramène à 1 'étude d'une particule fictive soumise à une force centrale en
1/r2. Nous verrons que l' équation de Schrodinger peut être résolue exactement dans
ce cas. Ces résultats jouent un rôle très important : ils permettent notamment d' introduire des idées et le vocabulaire (notations spectroscopiques) utilisés en physique
atomique.
1 2.1 ATOME D'HYDROGÈNE
12.1.1 Séparation des variables
L'espace de Hilbert du système est un produit tensoriel ~roton ® ~lectron (nous
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2 /r est le potentiel coulombien.
La première étape consiste à rendre le problème séparable. Pour cela nous introduisons deux couples de variables : d'une part la position et la vitesse du centre de
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-+
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