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11.2. Corrélations induites par le postulat de symétrisation
Figure 11.3 - Fonctions d'onde à deux particules.
Densité de probabilité llf'(x 1 , x 2 )1
2 pour deux particules occupant les deux premiers niveaux excités de l'oscillateur harmonique : cas discernable (fonction factorisée), bosonique, fermionique (fermions polarisés en spin).
Alors que les particules discernables sont indépendantes, tel n' est plus le cas pour
les particules indiscernables : la nature bosonique/fermionique est à l'origine de
corrélations spatiales (déjà en l'absence d'interaction).
11.2.6 État fondamental de N particules identiques
sans interaction
Étant donné un spectre d'états propres de l'hamiltonien h à une particule {é, 1 , IÀ.)}
(états individuels), il est facile de construire des états propres de l'hamiltonien à N
particules sans interaction H = 2::~ 1 h(i). Les états introduits plus haut, indexés à
l'aide des facteurs d' occupation, forment une telle base : Hl {n,d) = E{n, . 1 JI {n,i}) où
E\n,.1) = LÀ nÀEÀ. Examinons plus en détail la nature de l' état fondamental des N
particules identiques sans interaction, noté 1 Q).
• Condensation de Bose-Einstein
Analysons tout d'abord le cas bosonique. L' énergie du système est minimisée lorsque
toutes les particules se trouvent dans l'état individuel de plus basse énergie : 1 Q) =
1 Ào ) l ® · · · ® 1 Ào ) N . On parle de condensation de Bose-Einstein pour désigner ce phénomène où un nombre potentiellement macroscopique de particules se «condensent »
dans un état individuel. Si le spectre des énergies est celui de particules libres
{En} ~ {cf }, l' état fondamental est d'énergie nulle c 0 . L'énergie totale est également
nulle
1 (figure 11.4)
(11.14)
1. Si la particule est confinée dans un volume de dimension L, son énergie fondamentale est Eo ~ nL \ .
m
L'énergie de confinement d' un gaz de N particules est EQ = NEo ~ mL,~ . Par exemple, considérons le
m
cas de l' hydrogène : N ~ 10
23 , L ~ 10 cm, nous obtenons E~osons ~ 1016 J.
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2 pour deux particules occupant les deux premiers niveaux excités de l'oscillateur harmonique : cas discernable (fonction factorisée), bosonique, fermionique (fermions polarisés en spin).
Alors que les particules discernables sont indépendantes, tel n' est plus le cas pour
les particules indiscernables : la nature bosonique/fermionique est à l'origine de
corrélations spatiales (déjà en l'absence d'interaction).
11.2.6 État fondamental de N particules identiques
sans interaction
Étant donné un spectre d'états propres de l'hamiltonien h à une particule {é, 1 , IÀ.)}
(états individuels), il est facile de construire des états propres de l'hamiltonien à N
particules sans interaction H = 2::~ 1 h(i). Les états introduits plus haut, indexés à
l'aide des facteurs d' occupation, forment une telle base : Hl {n,d) = E{n, . 1 JI {n,i}) où
E\n,.1) = LÀ nÀEÀ. Examinons plus en détail la nature de l' état fondamental des N
particules identiques sans interaction, noté 1 Q).
• Condensation de Bose-Einstein
Analysons tout d'abord le cas bosonique. L' énergie du système est minimisée lorsque
toutes les particules se trouvent dans l'état individuel de plus basse énergie : 1 Q) =
1 Ào ) l ® · · · ® 1 Ào ) N . On parle de condensation de Bose-Einstein pour désigner ce phénomène où un nombre potentiellement macroscopique de particules se «condensent »
dans un état individuel. Si le spectre des énergies est celui de particules libres
{En} ~ {cf }, l' état fondamental est d'énergie nulle c 0 . L'énergie totale est également
nulle
1 (figure 11.4)
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1. Si la particule est confinée dans un volume de dimension L, son énergie fondamentale est Eo ~ nL \ .
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L'énergie de confinement d' un gaz de N particules est EQ = NEo ~ mL,~ . Par exemple, considérons le
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cas de l' hydrogène : N ~ 10
23 , L ~ 10 cm, nous obtenons E~osons ~ 1016 J.
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