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Chapitre 11 • Particules identiques et permutations - Postulats (4)
• Bosons. Le problème à deux bosons est caractérisé par 3 états indépendants :
la)i ®la h, ~[I a)i @lb h + 1 b )1 ®lah] et lb )1 ® I b )i. Nous pouvons également désigner ces états à l'aide des facteurs d'occupation : respectivement lna = 2, nb = 0),
lna = 1, nb = 1) et lna = 0, nb = 2). L' espace de Hilbert à deux bosons est donc de
dimension dim~ bosons = 3.
• Fermions. Nous trouvons 1 état antisymétrique : ~ [I a) l ® 1 b h -1b)l®1 a )i], que
nous pourrions noter 1 na = 1, nb = 1 ). On a dim~ fermions = 1.
Ces résultats sont illustrés sur la figure 11 .2. Remarquons que la propriété Jiti ®
Y~ = [Yéî ® Y~]syrn EB [Yéî ® Y~Jantisyrn n'est valable que dans le cas de N = 2
particules, cf. éq. (1 1.7).
11.2.5 Corrélations spatiales
Classiquement, les corrélations entre les positions d'un ensemble de particules découlent de l'existence d'interactions. Sans interaction, les particules classiques ne se
« voient » pas. Même en l'absence d'interaction, la symétrisation ou l'antisymétrisation de l'état quantique induit des corrélations entre particules identiques.
Pour illustrer cette remarque, considérons deux particules identiques sur un axe, dont
la fonction d' onde est !/'(x 1 , x 2 ). Étudions les corrélations entre les positions des particules. À cette fin nous introduisons la corrélation
(11.12)
où _x(i) est 1' opérateur de position de la particule i E { l, 2}. Calculons C lorsque les
deux particules occupent deux états individuels décrits par les fonctions d'onde à une
particule • Particules discernables : la fonction d'onde du système lorsque la particule 1 est
dans 1' état 1 vérifie facilement que ce choix conduit à Cdisc = O.
• Particules indiscernables : la fonction d'onde de deux bosons/fermions est donnée
par !/'(x 1 , x2) = ,}i [ ,,
2 ( < 'P lxl 'P > - )
2
Cbosons/ferrnions = ±I( 'P lxlx )1 -
2
(11.13)
Supposons pour simplifier que les deux états sont centrés sur 1' origine ( particules sont plus favorablement du même côté de l'origine: soit sur R+ soit sur R(i.e. x 1 ~ x 2 ), ils se « regroupent». Inversement, la corrélation négative dans le cas
des fermions indique qu'ils sont plus favorablement de part et d'autre de l'origine
(x 1 ~ -x 2 ), ils se « repoussent ». Ceci est illustré sur la figure 11 .3.
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