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11 .2. Corrélations induites par le postulat de symétrisation
11.2.3 Fermions identiques : principe de Pauli
Dans le cas des fermions, une conséquence assez élémentaire est que si deux états
individuels coïncident, 3 i et j t.q. Ài = ÀJ, alors 1 'l'rermions) = O. Autrement dit : un
état individuel ne peut pas être occupé par plus d'un fermion. Il est remarquable
de noter que la diversité des propriétés chimiques des atomes repose sur ce « principe» (en fait déduit d'un postulat plus fondamental) : parce que les électrons ne
peuvent pas être plus que 2 par orbitale atomique, les atomes ont des configurations
électroniques variées et des propriétés chimiques très diversifiées (cf. § 12.2).
11.2.4 Facteurs d'occupation
Par rapport à la situation où les particules sont discernables, caractériser l'état quantique de particules indiscernables requiert moins d'information (figure 11.2). En effet,
un état de N particules discernables est défini en précisant que la particule i est dans
l'état l/l.)i. En revanche, pour des particules indiscernables, seul importe de savoir
que l'état Ill) contient nil. particules (nil. E N pour des bosons et nil. E {0, l} pour des
fermions). L'état quantique est entièrement spécifié par la donnée des facteurs
d'occupation {n,i} des états individuels :
1 'l'bos/ferm ) =
nil.,!· · ·nil.N! ~
N
1
L../ ± 1) 1' 1 /l.po) ) 1 ® 1 À.p(2) h ® · · · ® 1 À.p( N>) N = 1 { n il. } ) •
N.
'P
(11.11)
Cette remarque, qui sera peu exploitée ici sinon pour représenter les états (figures 11.2 et 11.4), joue un rôle important dans le cours de physique statistique [21 ,
42, 15].
lb> -
1
2
1 2
- - -
- -
- -
-
l a> l2 - -
- -
- -
-
2
1
bosons
fermi ons
discern ables
Figure 11.2 - Remplissage de 2 états individuels par 2 particules.
Cas discernable, bosonique et fermionique.
Exemples : Pour illustrer ces considérations nous étudions 2 particules dans une
situation où l'espace de Hilbert à une particule est de dimension 2. Nous notons 1 a)
et 1 b) les deux états individuels et construisons une base d'états à 2 particules.
• Particules indiscernables. Nous pouvons construire 4 états: 1 a )1 ®I a )i, 1 a )1 ®I b )i,
lb)1 ® la h et lb ) 1 ® lb )2. Si on note Y~isc l'espace de Hilbert des deux particules
discernables, alors dimY~isc = 2
2
= 4.
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11.2.3 Fermions identiques : principe de Pauli
Dans le cas des fermions, une conséquence assez élémentaire est que si deux états
individuels coïncident, 3 i et j t.q. Ài = ÀJ, alors 1 'l'rermions) = O. Autrement dit : un
état individuel ne peut pas être occupé par plus d'un fermion. Il est remarquable
de noter que la diversité des propriétés chimiques des atomes repose sur ce « principe» (en fait déduit d'un postulat plus fondamental) : parce que les électrons ne
peuvent pas être plus que 2 par orbitale atomique, les atomes ont des configurations
électroniques variées et des propriétés chimiques très diversifiées (cf. § 12.2).
11.2.4 Facteurs d'occupation
Par rapport à la situation où les particules sont discernables, caractériser l'état quantique de particules indiscernables requiert moins d'information (figure 11.2). En effet,
un état de N particules discernables est défini en précisant que la particule i est dans
l'état l/l.)i. En revanche, pour des particules indiscernables, seul importe de savoir
que l'état Ill) contient nil. particules (nil. E N pour des bosons et nil. E {0, l} pour des
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d'occupation {n,i} des états individuels :
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Cette remarque, qui sera peu exploitée ici sinon pour représenter les états (figures 11.2 et 11.4), joue un rôle important dans le cours de physique statistique [21 ,
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Cas discernable, bosonique et fermionique.
Exemples : Pour illustrer ces considérations nous étudions 2 particules dans une
situation où l'espace de Hilbert à une particule est de dimension 2. Nous notons 1 a)
et 1 b) les deux états individuels et construisons une base d'états à 2 particules.
• Particules indiscernables. Nous pouvons construire 4 états: 1 a )1 ®I a )i, 1 a )1 ®I b )i,
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