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Chapitre 11 • Particules identiques et permutations - Postulats (4)
11.2 CORRÉLATIONS INDUITES
PAR LE POSTULAT DE SYMÉTRISATION
Les bases d'états construites à l'aide des états individuels jouent un rôle très important. D'une part elles fournissent des bases d'états stationnaires naturelles pour
les problèmes sans interaction. D'autre part, dans le cas des problèmes nettement
plus complexes mais plus réalistes où des interactions entre particules sont présentes,
elles donnnent un point de départ de l'analyse de ces problèmes : ces états symétrisés inclueront au moins les effets des corrélations quantiques dues au postulat de
symétrisation, à défaut d'inclure les corrélations dues aux interactions.
11.2.1 Problème à 1 particule : notations
Nous notons {I Ân )} une base de l'espace des états à une particule (états individuels).
11.2.2 Construction des états à N particules identiques
Considérons maintenant une situation où N particules identiques occupent N états
individuels. Pour des particules discernables, un état décrivant cette situation est
IA1 )1 ® IA2h ® ··· ® IAN ) N . L'état de N bosons est obtenu en applicant à l'état
précédant un opérateur de symétrisation (notons qu' il est équivalent de permuter les
indices repérant les états individuels, 1 Â'P(i) )ï, ou les particules, 1 Âï ) 'P(i) ) :
n,J 1 ! · · · nÀN ! '\""1
l IJlbosons) =
NI
~ 1Â'P(I))1 ® 1 Â'P(2) h ® · · · ® 1 Âtp(N) ) N
.
'P
(11.8)
où nÀi désigne le nombre de bosons dans l' état individuel 1 Âi ). Dans le cas de N
fermions, nous devons appliquer à l'état non symétrisé un opérateur d'antisymétrisation :
1 '\""1
N
l IJlfermions ) = _ r;:;-; ~ (-1) 'P 1 Â'P( l)) l ® 1 Âtp(2) h ® · · · ® 1 Âtp(N )) N
vN! 'P
qui peut être écrit sous la forme d'un déterminant ( « de Slater ») :
220
1
l IJlferrnions ) = _ r;:;-;
vN!
IA1 )1 IA1 h
IA2 ) 1 IA2h
(11.9)
(11.10)