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11 .1. Postulat de symétrisation
Toutes les fonctions d'onde de deux fermions identiques sont antisymétriques :
l lflfermions(cf1' cf2) = -lf!fermions(cf2 , cfi) 1 :::::} Jltterrnions = [.n} ® ~lantiysm · (11.3)
L'espace des états de deux bosons (respectivement deux fermions) est obtenu à partir
de 1' espace produit tensoriel Yé] ® ~ en retenant les états symétriques (respectivement antisymétriques). L'espace de Hilbert de particules indiscernables est donc
une restriction, de 1 'espace produit tensoriel qui correspondrait à deux particules discernables, ce que nous notons [ Yéî ® Yé'i]sym/antiysm. Le postulat de symétrisation
détermine la structure même de l'espace de Hilbert de plusieurs particules identiques, notamment sa dimension (cf. exercice 11.1).
11.1.5 Généralisation pour N particules identiques
La généralisation au cas de N particules est élémentaire. L'état est caractérisé par une
fonction d'onde à N particules : If!( cf i 1 ô, · · · , cf N ). L'échange entre particules correspond à une permutation P des N indices : nous notons P(i) le résultat de la permutation de l' indice i. Une permutation peut toujours être décomposée comme un produit
de transpositions, chaque transposition correspondant à 1 'échange de deux particules
(notons Nrp le nombre de transpositions nécessaires). Le postulat de symétrisation
prend donc la forme :
11/J(cfr>o) , cfr>c2), · · · , cfr>cN)) = ( ± 1 )Np l/J(cf 1, cf2, · · · , cf N) 1
(11.4)
avec le signe + pour des bosons et - pour des fermions.
L' espace de Hilbert des N bosons est constitué de tous les états produits tensoriel
symétrisés, ce que nous notons
~osons = [.n} ® · · · ® ~]sym ·
(11.5)
De même, l'ensemble des états de ,Yéf ® · · · ® Yé7N, antisymétriques sous l'échange
constitue l'espace de Hilbert du système de N fermions
3ffermions = [Jrl ® · · · ® ~Jantisym ·
(11.6)
Remarque
En symétrisant ou antisymetnsant les états de l'espace produit tensoriel , nous
n'avons pas épuisé toutes les manières de construire des vecteurs (dans un langage
de théorie des groupes [46] : le groupe des permutations de N > 2 éléments ad -
met d'autres représentations irréductibles que celles engendrées par les états symétriques et les états antisymétriques). En général :
Yt] ® · · · ® Yt7N = [J't] ® · · · ® Yt7N ]sym E9 [J't] ® · · · ® Yt7Nlantisym E9 [J't] ® · · · ® Yt7N]autre (11.7)
où [Ytl ® · · · ® YéNlautre reg roupe tous les vecteurs produits tensoriels ni totalement
symétriques ni totalement antisymétriques (cf. § 63 de l'ouvrage [30]).
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L'espace des états de deux bosons (respectivement deux fermions) est obtenu à partir
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une restriction, de 1 'espace produit tensoriel qui correspondrait à deux particules discernables, ce que nous notons [ Yéî ® Yé'i]sym/antiysm. Le postulat de symétrisation
détermine la structure même de l'espace de Hilbert de plusieurs particules identiques, notamment sa dimension (cf. exercice 11.1).
11.1.5 Généralisation pour N particules identiques
La généralisation au cas de N particules est élémentaire. L'état est caractérisé par une
fonction d'onde à N particules : If!( cf i 1 ô, · · · , cf N ). L'échange entre particules correspond à une permutation P des N indices : nous notons P(i) le résultat de la permutation de l' indice i. Une permutation peut toujours être décomposée comme un produit
de transpositions, chaque transposition correspondant à 1 'échange de deux particules
(notons Nrp le nombre de transpositions nécessaires). Le postulat de symétrisation
prend donc la forme :
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avec le signe + pour des bosons et - pour des fermions.
L' espace de Hilbert des N bosons est constitué de tous les états produits tensoriel
symétrisés, ce que nous notons
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De même, l'ensemble des états de ,Yéf ® · · · ® Yé7N, antisymétriques sous l'échange
constitue l'espace de Hilbert du système de N fermions
3ffermions = [Jrl ® · · · ® ~Jantisym ·
(11.6)
Remarque
En symétrisant ou antisymetnsant les états de l'espace produit tensoriel , nous
n'avons pas épuisé toutes les manières de construire des vecteurs (dans un langage
de théorie des groupes [46] : le groupe des permutations de N > 2 éléments ad -
met d'autres représentations irréductibles que celles engendrées par les états symétriques et les états antisymétriques). En général :
Yt] ® · · · ® Yt7N = [J't] ® · · · ® Yt7N ]sym E9 [J't] ® · · · ® Yt7Nlantisym E9 [J't] ® · · · ® Yt7N]autre (11.7)
où [Ytl ® · · · ® YéNlautre reg roupe tous les vecteurs produits tensoriels ni totalement
symétriques ni totalement antisymétriques (cf. § 63 de l'ouvrage [30]).
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