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Chapitre 11 • Particules identiques et permutations - Postulats (4)
perdent leur« individualité», ce qui conduit à postuler un principe d'indiscernabilité :
les particules identiques sont indiscernables. Cette proposition a des conséquences
extrêmement importantes sur la nature des fonctions d'onde à plusieurs particules
identiques, que nous examinons maintenant.
1 1 . 1 POSTULAT DE SYMÉTRISATION
Nous commencerons par analyser un problème à deux particules identiques dont les
états quantiques appartiennent à deux espaces de Hilbert &i et ~ . Nous montrerons que seule une partie des vecteurs de 1 'espace produit tensoriel Yei ® Y~ sont
physiquement acceptables.
11.1.1 Opérateur de permutation (d'échange)
Notons une fonction d'onde du système de deux particules ljJ(g1, 6), où g regroupe les
nombres quantiques, ou «coordonnées », permettant de repérer 1 'état d'une particule.
Par exemple pour une particule portant un spin, il peut s'agir de sa position et de son
état de spin: g = (r, cr), où cr indexe les 2s+ 1 valeurs propres d'une des composantes
du spin. Nous introduisons 1' opérateur de permutation (d' échange) P 1 2 qui intervertit
les deux particules :
(11.1)
En remarquant que (P 12 )
2 = 1, nous déduisons que les valeurs propres de P 12 sont
± 1 ( + 1 pour une fonction d' onde symétrique, ou plutôt « invariante », et -1 pour une
fonction d'onde antisymétrique).
Le principe d'indiscemabilité des particules conduit à l'idée que ljJ(g 1 , 6) et
l/f(Ç 2 , g 1 ) doivent décrire la même situation physique. De plus, à cause du principe
de superposition, il ne suffit pas qu'un état particulier soit état propre de l' opérateur de permutation P 12 , mais que cette propriété reste vraie lorsqu'on considère des
combinaisons linéaires d' états. Finalement, nous sommes conduits à postuler que les
états physiques du problème à 2 particules sont, soit tous invariants, soit tous
antisymétriques sous l'échange. Cette observation conduit à la question : quel choix
devons-nous faire ?
>
g.
11.1.2 Bosons/fermions
u
Les particules peuvent être classées en deux catégories suivant leur propriétés de
permutabilité :
La fonction d'onde est symétrisée pour les particules appelées des bosons.
La fonction d'onde est antisymétrisée pour les particules appelées des fermions.
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perdent leur« individualité», ce qui conduit à postuler un principe d'indiscernabilité :
les particules identiques sont indiscernables. Cette proposition a des conséquences
extrêmement importantes sur la nature des fonctions d'onde à plusieurs particules
identiques, que nous examinons maintenant.
1 1 . 1 POSTULAT DE SYMÉTRISATION
Nous commencerons par analyser un problème à deux particules identiques dont les
états quantiques appartiennent à deux espaces de Hilbert &i et ~ . Nous montrerons que seule une partie des vecteurs de 1 'espace produit tensoriel Yei ® Y~ sont
physiquement acceptables.
11.1.1 Opérateur de permutation (d'échange)
Notons une fonction d'onde du système de deux particules ljJ(g1, 6), où g regroupe les
nombres quantiques, ou «coordonnées », permettant de repérer 1 'état d'une particule.
Par exemple pour une particule portant un spin, il peut s'agir de sa position et de son
état de spin: g = (r, cr), où cr indexe les 2s+ 1 valeurs propres d'une des composantes
du spin. Nous introduisons 1' opérateur de permutation (d' échange) P 1 2 qui intervertit
les deux particules :
(11.1)
En remarquant que (P 12 )
2 = 1, nous déduisons que les valeurs propres de P 12 sont
± 1 ( + 1 pour une fonction d' onde symétrique, ou plutôt « invariante », et -1 pour une
fonction d'onde antisymétrique).
Le principe d'indiscemabilité des particules conduit à l'idée que ljJ(g 1 , 6) et
l/f(Ç 2 , g 1 ) doivent décrire la même situation physique. De plus, à cause du principe
de superposition, il ne suffit pas qu'un état particulier soit état propre de l' opérateur de permutation P 12 , mais que cette propriété reste vraie lorsqu'on considère des
combinaisons linéaires d' états. Finalement, nous sommes conduits à postuler que les
états physiques du problème à 2 particules sont, soit tous invariants, soit tous
antisymétriques sous l'échange. Cette observation conduit à la question : quel choix
devons-nous faire ?
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11.1.2 Bosons/fermions
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Les particules peuvent être classées en deux catégories suivant leur propriétés de
permutabilité :
La fonction d'onde est symétrisée pour les particules appelées des bosons.
La fonction d'onde est antisymétrisée pour les particules appelées des fermions.
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