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0
c
::J
0
LI)
......
0
N
@
.......
..c
Ol
·;::::
> a.
0
u
Chapitre 10 • Introduction à la théorie des collisions
coïncidents. En 3D:
+ -+
1
ik
G 0 (ro, 0) = - - - - + O(ro).
ro~o
4nro 4n
(10.86)
Le point de départ de la procédure de renormalisation consiste à remplacer ci(o, 0)
par ci(r 0 , 0) dans l'équation (10.74). Cette substitution trouve sa justification physique dans la remarque que l'équation intégrale pour la fonction de Green (équation
de Dyson discutée dans la section 10.3 ou 1 'exercice 10.8) fait intervenir des intégrales du type J dr V(r) c;(r, 0). Si le potentiel a une portée finie r 0 , l'intégration
moyenne le comportement divergent de la fonction de Green sur une échelle typique
ro. La deuxième étape consiste à absorber la divergence de c;(ro, 0) en« renormalisant »le poids de l'impureté :
1
+
regularisation 1
+
1
1
ik
1
ik
- - G (0, 0)
~
- - G (ro, 0) ~ - + -
+ - = - + -
À
0
À
0
À
4nro 4n
ÀR
4n
(10.87)
où on a introduit le poids « renormalisé » ÀtR ~ ~ + 4 ;ro. La limite ro ~ 0 et À ~ oest donc bien définie (en revanche la limite À ~ o+ conduit à un résultat trivial :
f = 0). Notons que si nous n'obtenons un résultat non trivial que pour À< 0, le signe
du poids renormalisé ÀR est arbitraire. La philosophie derrière cette procédure est la
suivante : l'équation de Schrodinger pour V(r') = lô(r') est un problème mal défini
mathématiquement. On régularise la divergence de f dr V(r) c;(r, 0) en introduisant
le régulateur ro ~ O. On peut donner un sens au calcul en absorbant la divergence
dans le paramètre «nu» À (non physique) de la théorie de départ, tout en évitant
d'introduire des détails « microscopiques » supplémentaires (via la substitution par
un potentiel régulier). Les résultats physiques ne dépendent que du paramètre renormalisé ÀR (physique).
4) Calculer l'amplitude de diffusion f en utilisant la procédure de renormalisation.
Montrer que l'on obtient le même résultat qu'avec le pseudo-potentiel.
Cas bidimensionnel
Dans la situation bidimensionnelle la fonction de Green présente une divergence logarithmique d'après l'équation (10.67)
+
1
i
G 0 (ro, 0) ~ - lnkro - -.
ro ~o 2n
4
(10.88)
212
0
c
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Chapitre 10 • Introduction à la théorie des collisions
coïncidents. En 3D:
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G 0 (ro, 0) = - - - - + O(ro).
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(10.86)
Le point de départ de la procédure de renormalisation consiste à remplacer ci(o, 0)
par ci(r 0 , 0) dans l'équation (10.74). Cette substitution trouve sa justification physique dans la remarque que l'équation intégrale pour la fonction de Green (équation
de Dyson discutée dans la section 10.3 ou 1 'exercice 10.8) fait intervenir des intégrales du type J dr V(r) c;(r, 0). Si le potentiel a une portée finie r 0 , l'intégration
moyenne le comportement divergent de la fonction de Green sur une échelle typique
ro. La deuxième étape consiste à absorber la divergence de c;(ro, 0) en« renormalisant »le poids de l'impureté :
1
+
regularisation 1
+
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- - G (0, 0)
~
- - G (ro, 0) ~ - + -
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ÀR
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(10.87)
où on a introduit le poids « renormalisé » ÀtR ~ ~ + 4 ;ro. La limite ro ~ 0 et À ~ oest donc bien définie (en revanche la limite À ~ o+ conduit à un résultat trivial :
f = 0). Notons que si nous n'obtenons un résultat non trivial que pour À< 0, le signe
du poids renormalisé ÀR est arbitraire. La philosophie derrière cette procédure est la
suivante : l'équation de Schrodinger pour V(r') = lô(r') est un problème mal défini
mathématiquement. On régularise la divergence de f dr V(r) c;(r, 0) en introduisant
le régulateur ro ~ O. On peut donner un sens au calcul en absorbant la divergence
dans le paramètre «nu» À (non physique) de la théorie de départ, tout en évitant
d'introduire des détails « microscopiques » supplémentaires (via la substitution par
un potentiel régulier). Les résultats physiques ne dépendent que du paramètre renormalisé ÀR (physique).
4) Calculer l'amplitude de diffusion f en utilisant la procédure de renormalisation.
Montrer que l'on obtient le même résultat qu'avec le pseudo-potentiel.
Cas bidimensionnel
Dans la situation bidimensionnelle la fonction de Green présente une divergence logarithmique d'après l'équation (10.67)
+
1
i
G 0 (ro, 0) ~ - lnkro - -.
ro ~o 2n
4
(10.88)
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