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Problèmes
qu'en considérant un potentiel V(;t) = 2 n
2
À ô(;t}, nous avons en tête de modéliser le
me
problème physique d' une impureté générant un potentiel de courte portée (dans un
vrai problème physique le potentiel aurait une portée petite mais finie : par exemple
une impureté dans un réseau crista11in est responsable d' un potentiel ayant une portée au moins égale au pas du réseau; l'interaction écrantée entre électrons d'un métal
a la portée de la longueur d'écran, de l'ordre de quelques  dans les bons métaux,
comme l'argent). C'est la modélisation du problème physique de l'impureté localisée qui est ici en question. Deux approches (donnant le même résultat) sont possibles
(la première ne présente pas de difficulté particulière, mais la seconde approche est
conceptuellement plus ardue).
Approche 1 : Pseudo-potentiel (cas 30)
La première approche, proposée par Fermi en 1936, consiste à remplacer la distribution c5(;t) en 3D par une autre distribution localisée ne posant pas de problème. Nous
introduisons
8(;t) ~ ô(;t} .i_r.
ôr
1) Calculer l'action de 8 sur une fonction régulière (finie) à l'origine.
(10.82)
2) Nous introduisons une fonction lf!(;t} divergeant comme l/r à l' origine, et contenant
une partie régulière : l/f(Y) = lf!reg(;t) + ~. Montrer que
-
~
ô(;t} lf!(;t} = l/lreg(O) ô(;t}.
(10.83)
3) Nous étudions la diffusion sur un tel potentiel (fixons n
2 /(2me) = 1 pour simplifier)
H = -!J. + ÀcS(;t).
(10.84)
Calculer !J.lf!(;t} (on rappelle que !J.; = -4nc5(;t), cf. annexe 2.B). Montrer que l'état
stationnaire
(10.85)
est solution de 1 'équation de Schrodinger stationnaire et déduire 1' amplitude de diffusion f. Commenter la limite k ~ O.
Approche 2 : Renormalisation du poids de l'impureté
(cas 30)
Utiliser la formule (10.74) est possible en ID mais pose un problème pour les dimensions supérieures, provenant de la divergence de la fonction de Green à points
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