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Chapitre 10 • Introduction à la théorie des collisions
la densité d'états et Cgeo la capacité «géométrique» (du problème d'électrostatique); qe est la charge de l'électron. Ceci explique que le terme de densité d'états
(donc le temps de Wigner) peut être interprété comme une contribution quantique
2
à la capacité Cq = 2 ~n r(cp ), en série de la capacité géométrique. La capacité totale
est notée 1/Cµ = 1/Cq + 1/Cgeo ~ Etot = (qeN)
2 /2Cµ- Dans l'expérience on mesure l'impédance dynamique du dispositif; sa partie imaginaire est directement
proportionnelle à la capacité Cµ- La tension de grille VG appliquée au niveau de
la constriction ferme la cavité (donc agit sur la largeur des résonances) et modifie
l'énergie de Fermi : la relation entre les deux est donnée par lqelVG =A cp +este
où A ::::: 100 est un rapport de capacités. On peut voir que la largeur des pics est de
l'ordre de ~V G ~ 1 m Volt. En déduire la valeur du temps de Wigner au sommet
des pics et interpréter physiquement cette valeur. Comparer ce temps au temps
typique passé dans la cavité (la vitesse des électrons est up ::::: 0.3 10
6 m/s).
-0.85
-0.84
-0.83
v 0 (Volts)
Figure 10.11 - Capacité quantique.
À gauche : Vue d'artiste de la cavité quantique réalisée dans un gaz d'électrons bidimensionne l (électrons piégés à une interface de GaAs/GaxAli - xAs). La cavité (le domaine sous
la grille) est fermée à l'aide d'une constriction contrôlée par la tension de grille Ve. Une
tension alternative est appliquée entre les deux fils de contact visibles aux deux extrémités du système. © D. Darson (LPA, ENS) . À droite : Mesure de la partie imaginaire de
l'impédance, donnant la capacité« mésoscopique » Cµ, à une température de T = 30 mK.
Données tirées de : J. Gabel li, G. Fève, J.-M. Berroir, B. Plaçais, A. Cavanna, B. Etienne,
Y. Jin & C. Glattli, Violation of Kirchhoff's laws for a coherent RC circuit, Science 313, 499
(2006).
llelJ Interaction ponctuelle en dimension d ;;:,: 2
Nous étudions le problème d'une impureté localisée en dimension d ~ 2. Nous serions tentés de généraliser le calcul unidimensionnel et de reprendre l'analyse pour
un potentiel V(r'.) = 2 n
2
A o(r'.), cependant nous serions confronté à une difficulté : la
me
formule, éq. (10.74), donnant la fonction de Green en présence d'une impureté o fait
~
~
~
~
apparaître un Go(O, 0) au dénominateur. Or Go(O, 0) = oo en dimension d ~ 2, ce
qui conduit au résultat trivial que le potentiel n'a aucun effet sur l'onde ! Soulignons
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Chapitre 10 • Introduction à la théorie des collisions
la densité d'états et Cgeo la capacité «géométrique» (du problème d'électrostatique); qe est la charge de l'électron. Ceci explique que le terme de densité d'états
(donc le temps de Wigner) peut être interprété comme une contribution quantique
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à la capacité Cq = 2 ~n r(cp ), en série de la capacité géométrique. La capacité totale
est notée 1/Cµ = 1/Cq + 1/Cgeo ~ Etot = (qeN)
2 /2Cµ- Dans l'expérience on mesure l'impédance dynamique du dispositif; sa partie imaginaire est directement
proportionnelle à la capacité Cµ- La tension de grille VG appliquée au niveau de
la constriction ferme la cavité (donc agit sur la largeur des résonances) et modifie
l'énergie de Fermi : la relation entre les deux est donnée par lqelVG =A cp +este
où A ::::: 100 est un rapport de capacités. On peut voir que la largeur des pics est de
l'ordre de ~V G ~ 1 m Volt. En déduire la valeur du temps de Wigner au sommet
des pics et interpréter physiquement cette valeur. Comparer ce temps au temps
typique passé dans la cavité (la vitesse des électrons est up ::::: 0.3 10
6 m/s).
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Figure 10.11 - Capacité quantique.
À gauche : Vue d'artiste de la cavité quantique réalisée dans un gaz d'électrons bidimensionne l (électrons piégés à une interface de GaAs/GaxAli - xAs). La cavité (le domaine sous
la grille) est fermée à l'aide d'une constriction contrôlée par la tension de grille Ve. Une
tension alternative est appliquée entre les deux fils de contact visibles aux deux extrémités du système. © D. Darson (LPA, ENS) . À droite : Mesure de la partie imaginaire de
l'impédance, donnant la capacité« mésoscopique » Cµ, à une température de T = 30 mK.
Données tirées de : J. Gabel li, G. Fève, J.-M. Berroir, B. Plaçais, A. Cavanna, B. Etienne,
Y. Jin & C. Glattli, Violation of Kirchhoff's laws for a coherent RC circuit, Science 313, 499
(2006).
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Nous étudions le problème d'une impureté localisée en dimension d ~ 2. Nous serions tentés de généraliser le calcul unidimensionnel et de reprendre l'analyse pour
un potentiel V(r'.) = 2 n
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A o(r'.), cependant nous serions confronté à une difficulté : la
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formule, éq. (10.74), donnant la fonction de Green en présence d'une impureté o fait
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qui conduit au résultat trivial que le potentiel n'a aucun effet sur l'onde ! Soulignons
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