"'O
0
c
:J
0
lil
~
.-t
""'
0
"
N
=
@
"'
"
"
.......
'"
..c
·C
O'l
0
=
·;::::
"'
>"
a.
0
0
"
"
u
.3
ü
=
""' 2 o..
2
.!:!
=
~
-0
0
" =
Ci
@
1) Rappeler pourquoi la solution prend« asymptotiquement» la forme
if!k(X) = e-ik(x-L) + eik(x-L )+2iT/(Ek )
x>L
2) Temps de Wigner. On définit le temps de Wigner par
r( E) ~ 21i d77( E) .
dE
pour 7J E R .
Problèmes
(10.78)
(10.79)
Nous cherchons une interprétation physique de r(E). Pour cela, considérons un paquet d' ondes, i.e. une combinaison linéaire d'états stationnaires solutions de (10.77):
où la fonction g(k-ko) est une fonction« étroite » centrée sur ko et de largeur ôk << ko.
a) Pour x > L, on peut séparer
un retard du paquet d'ondes réfléchi d'énergie ~ E , dû au temps passé dans la
région [O, L] d' interaction.
3) Illustrations. Nous calculons le temps de Wigner dans différentes situations.
a) Tout d' abord si V(x) = oo sur [O, L] (et toujours nul pour x > L).
b) Si V(x) = 0 sur [O, L].
c) Enfin nous supposons que le potentiel est tel qu'existent des états quasi-liés (résonants). Au voisinage d'une résonance le déphasage présente le comportement
générique de Breit-Wigner (cf. exercice 10.2)
e2iT1(E) ' . : : : : : ' .
E - En - ~1iT n/2.
E~E11 E - En+ I1iI'n/2
(10.81)
Calculer r(E) correspondant et tracer soigneusement la courbe. Préciser la valeur
de r(En)· Intégrer l'expression obtenue k 1:
00
dE r(E).
4) Relation de Krein-Friedel et capacité quantique. Nous avons vu dans le cours
que le déphasage fournit une mesure de la densité d'états de la région [0, L].
a) Discuter la relation avec le 3.c. Déduire la relation entre r (E) et la densité d 'états.
b) Nous considérons la petite structure conductrice représentée sur la figure 10.11 :
une cavité de dimension microscopique est réalisée dans un gaz d'électrons bidimensionnel. L'énergie des N électrons de la cavité peut être décomposée en
2
énergie de Fermi et énergie électrostatique : E tot = - 2 (
1 ) N
2 + 2 cqe N
2 où p( Ep ) est
p EF
geo
209
0
c
:J
0
lil
~
.-t
""'
0
"
N
=
@
"'
"
"
.......
'"
..c
·C
O'l
0
=
·;::::
"'
>"
a.
0
0
"
"
u
.3
ü
=
""' 2 o..
2
.!:!
=
~
-0
0
" =
Ci
@
1) Rappeler pourquoi la solution prend« asymptotiquement» la forme
if!k(X) = e-ik(x-L) + eik(x-L )+2iT/(Ek )
x>L
2) Temps de Wigner. On définit le temps de Wigner par
r( E) ~ 21i d77( E) .
dE
pour 7J E R .
Problèmes
(10.78)
(10.79)
Nous cherchons une interprétation physique de r(E). Pour cela, considérons un paquet d' ondes, i.e. une combinaison linéaire d'états stationnaires solutions de (10.77):
où la fonction g(k-ko) est une fonction« étroite » centrée sur ko et de largeur ôk << ko.
a) Pour x > L, on peut séparer
un retard du paquet d'ondes réfléchi d'énergie ~ E , dû au temps passé dans la
région [O, L] d' interaction.
3) Illustrations. Nous calculons le temps de Wigner dans différentes situations.
a) Tout d' abord si V(x) = oo sur [O, L] (et toujours nul pour x > L).
b) Si V(x) = 0 sur [O, L].
c) Enfin nous supposons que le potentiel est tel qu'existent des états quasi-liés (résonants). Au voisinage d'une résonance le déphasage présente le comportement
générique de Breit-Wigner (cf. exercice 10.2)
e2iT1(E) ' . : : : : : ' .
E - En - ~1iT n/2.
E~E11 E - En+ I1iI'n/2
(10.81)
Calculer r(E) correspondant et tracer soigneusement la courbe. Préciser la valeur
de r(En)· Intégrer l'expression obtenue k 1:
00
dE r(E).
4) Relation de Krein-Friedel et capacité quantique. Nous avons vu dans le cours
que le déphasage fournit une mesure de la densité d'états de la région [0, L].
a) Discuter la relation avec le 3.c. Déduire la relation entre r (E) et la densité d 'états.
b) Nous considérons la petite structure conductrice représentée sur la figure 10.11 :
une cavité de dimension microscopique est réalisée dans un gaz d'électrons bidimensionnel. L'énergie des N électrons de la cavité peut être décomposée en
2
énergie de Fermi et énergie électrostatique : E tot = - 2 (
1 ) N
2 + 2 cqe N
2 où p( Ep ) est
p EF
geo
209