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Problèmes
2) Courants de probabilité. Nous notons J E,CT(x) le courant de probabilité associé à
l./)E,CT(X).
a) Calculer le courant de probabilité J E,±(x) pour x ~ -oo puis pour x ~ +oo.
Quelle relation pouvez-vous déduire entre lrl et ltl? Puis entre lt'I et lr'I?
b) Wronskien. Soient f 1 (x) et f2(x) deux solutions linéairement indépendantes de
l'équation de Schrodinger stationnaire H f1,2(x) = Ef1 ,2(x) pour une même énergie E. Montrer que le wronskien W[f1; h] ~Ji (x) d1~x) - d.~~x) f2(x) est constant
sur R.
c) Relation entre t et t'. Calculer le Wronskien W[r.pE, -; 1.fJE,+] pour x ~ -oo puis
pour x ~ +oo . En déduire une relation entre t et t'.
3) Résistance de Landauer. Nous considérons un fil quantique unidimensionnel séparant deux gaz d'électrons. Ces derniers jouent le rôle de deux réservoirs d'électrons
dont les énergies de Fermi sont EF et EF + qe V, où qe est la charge de l'électron. La
différence entre les énergies de Fermi est ajustée en appliquant une tension V aux
bornes du fil (cf. figure 10.9). Nous admettons que le courant dans le fil est donné par
(pour une justification, cf. [11 ])
(
(EF+qe V
(EF
)
l(V) = qe Jo
dE JE ,++ Jo dE JE, - .
(10.75)
Cette expression décrit l'injection d'électrons depuis la gauche (resp. la droite) dans
tous les états 1.fJE,+(x) (resp. 1.fJE,- (x)) de [O, EF + qe V] (resp. [O, EF ]). Le choix de
normalisation fait plus haut nous assure que la sommation des courants doit être effectuée avec la mesure dE.
a) Exprimer /(V) en fonction des coefficients de transmission.
b) On s'intéresse au régime linéaire /(V ~ 0) ~ V/
2
1/1{ = qe lt(EF) l
2 •
h
(10.76)
c) On note
spin des électrons, le courant est doublé et le quantum de résistance qui intervient
est
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a) Calculer le courant de probabilité J E,±(x) pour x ~ -oo puis pour x ~ +oo.
Quelle relation pouvez-vous déduire entre lrl et ltl? Puis entre lt'I et lr'I?
b) Wronskien. Soient f 1 (x) et f2(x) deux solutions linéairement indépendantes de
l'équation de Schrodinger stationnaire H f1,2(x) = Ef1 ,2(x) pour une même énergie E. Montrer que le wronskien W[f1; h] ~Ji (x) d1~x) - d.~~x) f2(x) est constant
sur R.
c) Relation entre t et t'. Calculer le Wronskien W[r.pE, -; 1.fJE,+] pour x ~ -oo puis
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3) Résistance de Landauer. Nous considérons un fil quantique unidimensionnel séparant deux gaz d'électrons. Ces derniers jouent le rôle de deux réservoirs d'électrons
dont les énergies de Fermi sont EF et EF + qe V, où qe est la charge de l'électron. La
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(pour une justification, cf. [11 ])
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Cette expression décrit l'injection d'électrons depuis la gauche (resp. la droite) dans
tous les états 1.fJE,+(x) (resp. 1.fJE,- (x)) de [O, EF + qe V] (resp. [O, EF ]). Le choix de
normalisation fait plus haut nous assure que la sommation des courants doit être effectuée avec la mesure dE.
a) Exprimer /(V) en fonction des coefficients de transmission.
b) On s'intéresse au régime linéaire /(V ~ 0) ~ V/
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(10.76)
c) On note
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