"'O
0
c
:J
0
lil
~
.-t
""'
0
"
N
=
@
"'
"
"
.......
'"
..c
·C
O'l
0
=
·;::::
"'
>"
a.
0
0
"
"
u
.3
ü
=
""' 2 o..
2
.!:!
=
~
-0
0
" =
Ci
@
Exercices
flèches sur les vecteurs). Écrire l' équation de Dyson G =Go+ Go VG en représentation d'espace, i.e. pour G(r, r'). Déduire que
'
'
1
'
G(r, r) = Go(r, r) + Go(r, 0)
Go(O, r)
1/ A - Go(O, 0)
(10.74)
Remarque
Ce résultat est de portée générale : sa démonstration n'a utilisé aucune hypothèse
sur H 0 . En particulier il s'appliquerait en présence de degrés de liberté internes
comme dans une théorie relativiste (C serait une matrice ainsi que A).
IC.@MD États de diffusion et matrice T pour une impureté 8
En reprenant le résultat de l'exercice 10.8, donner l'expression de l'état stationnaire
et de la matrice T pour une impureté o. Comparer l'expression de l'etat stationnaire
avec le résultat de l' approximation de Born d'ordre 1.
10.10 (MF) Diffusion sur un potentiel sphérique dans l'approximation de
Born
On considère le potentiel (en 3D) V(r) = Vo pour r < ro et V(r) = 0 sinon. Calculer
l'amplitude de diffusion dans l'approximation de Born d'ordre 1. Discuter la limite
de basse énergie.
111111@ Diffusion par une sphère dure en 2D : déphasages
Nous étudions les déphasages décrivant la diffusion sur une sphère dure en 2D :
V(r < ro) = oo et V(r > ro) =O.
a) La solution générale de l'équation différentielle (1 0.45) pour r > ro peut être
écrite comme une combinaison linéaire de fonctions de Bessel : Uk,m(r) =
A lm(kr) + B Nm(kr) (cf. annexe A). Quelle valeur de A/B satisfait les conditions
aux limites ?
b) En déduire que le déphasage est donné par tan 1Jm(E) = ~;;,~7r~i.
c) En utilisant les formules de l'annexe A, montrer que 7Jm*o(E ---7 0) ~ (kro)21ml et
7Jo(E ~ 0) ~ ~ ln1 (kro/2).
10.12 (MF) Diffusion de basse énergie par une sphère dure en 3D
Nous considérons la diffusion par un potentiel V(r < r 0 ) = oo et V(r > r 0 ) = 0 en 3D,
dans la limite de basse énergie kr 0 << 1. On peut dans ce cas se limiter à l 'onde s.
Calculer explicitement l'onde partielle. Déduire la longueur de diffusion.
205
0
c
:J
0
lil
~
.-t
""'
0
"
N
=
@
"'
"
"
.......
'"
..c
·C
O'l
0
=
·;::::
"'
>"
a.
0
0
"
"
u
.3
ü
=
""' 2 o..
2
.!:!
=
~
-0
0
" =
Ci
@
Exercices
flèches sur les vecteurs). Écrire l' équation de Dyson G =Go+ Go VG en représentation d'espace, i.e. pour G(r, r'). Déduire que
'
'
1
'
G(r, r) = Go(r, r) + Go(r, 0)
Go(O, r)
1/ A - Go(O, 0)
(10.74)
Remarque
Ce résultat est de portée générale : sa démonstration n'a utilisé aucune hypothèse
sur H 0 . En particulier il s'appliquerait en présence de degrés de liberté internes
comme dans une théorie relativiste (C serait une matrice ainsi que A).
IC.@MD États de diffusion et matrice T pour une impureté 8
En reprenant le résultat de l'exercice 10.8, donner l'expression de l'état stationnaire
et de la matrice T pour une impureté o. Comparer l'expression de l'etat stationnaire
avec le résultat de l' approximation de Born d'ordre 1.
10.10 (MF) Diffusion sur un potentiel sphérique dans l'approximation de
Born
On considère le potentiel (en 3D) V(r) = Vo pour r < ro et V(r) = 0 sinon. Calculer
l'amplitude de diffusion dans l'approximation de Born d'ordre 1. Discuter la limite
de basse énergie.
111111@ Diffusion par une sphère dure en 2D : déphasages
Nous étudions les déphasages décrivant la diffusion sur une sphère dure en 2D :
V(r < ro) = oo et V(r > ro) =O.
a) La solution générale de l'équation différentielle (1 0.45) pour r > ro peut être
écrite comme une combinaison linéaire de fonctions de Bessel : Uk,m(r) =
A lm(kr) + B Nm(kr) (cf. annexe A). Quelle valeur de A/B satisfait les conditions
aux limites ?
b) En déduire que le déphasage est donné par tan 1Jm(E) = ~;;,~7r~i.
c) En utilisant les formules de l'annexe A, montrer que 7Jm*o(E ---7 0) ~ (kro)21ml et
7Jo(E ~ 0) ~ ~ ln1 (kro/2).
10.12 (MF) Diffusion de basse énergie par une sphère dure en 3D
Nous considérons la diffusion par un potentiel V(r < r 0 ) = oo et V(r > r 0 ) = 0 en 3D,
dans la limite de basse énergie kr 0 << 1. On peut dans ce cas se limiter à l 'onde s.
Calculer explicitement l'onde partielle. Déduire la longueur de diffusion.
205