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Chapitre 10 • Introduction à la théorie des collisions
Exercices
llel@t)i Fonction de Green de l'équation de Schrôdinger 1 D
On considère l'équation de Schrodinger unidimensionnelle Hif!(x) = Eif!(x) où
H = - d 2 /(2me) = 1 pour alléger).
a) Vérifier que la fonction de Green obéit à 1 'équation différentielle
(z - H) {](x, x'; z) = ô(x - x').
En déduire une condition de raccordement : dÇ(x,x') 1
-
dÇ(x,x') 1
= ?
dx
x=x' +
dx
x=x' -
b) Supposons que E n'appartient pas au spectre de H (par exemple dans le cas du
problème libre on se place à énergie E < 0). Dans ce cas 1' équation différentielle (E - H)f(x) = 0 admet deux solutions indépendantes non normalisables.
Nous notons f ±(x) les solutions de l'équation différentielle décroissant à l'infini :
J±(x ~ ± oo) = 0 et W = W[f+, f-] = !+!~ - f~f- le wronskien de ces deux
solutions. Montrer que West indépendant de x.
c) Montrer que la fonction de Green est donnée par
'
1
{](x, x ; E) = - W f +(x» f - (x<)
(10.72)
,
def
(
1 )
def
• (
1)
ou x> = max x, x et x< = mm x , x .
llefi@i Fonction de Green libre 1 D
Nous appliquons le résultat de l'exercice précédent au cas du problème libre.
a) Donner les deux fonctions f±(x). Déduire que la fonction de Green libre est
r:2 (
1 • E) _ _
l
- Y-Eix- x' 1
~o x , x ,
-
_ ,--r. e
2v-E
pour E E R-.
(10.73)
b) Lorsque E E R +, i.e. lorsque E appartient au spectre de l'opérateur, la fonction
de Green présente une singularité (une coupure, i.e. une ligne de discontinuité).
Exprimer la fonction de Green juste au-dessus et juste au-dessous de la coupure
{]o(x, x'; E ± iQ+).
c) Calculer la discontinuité {]o(x, x'; E - iü+) - {]o(x, x'; E + iü+). Plus difficile :
interpréter le résultat.
llel:lifüU Fonction de Green pour une impureté ô
Nous déterminons la fonction de Green de l'hamiltonien H = Ho + V, où Ho est
l'hamiltonien libre et V décrit une impureté localisée, i.e. V(r) = Aô(r) (oublions les
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