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1 O.S. Diffusion dans la situation tridimensionnelle
l'exercice 10.7). Le cas bidimensionnel est plus délicat et conduit à une fonction de
Hankel (Bessel de troisième espèce, cf. annexe A). Nous obtenons :
End= 1:
G+(x x'. E) = me eiklx-x' I
0 '
,
ifi 2 k
End= 2:
G+(r r'· E) = me H ( l)(kR) ::::
me
eikR
0 '
'
2ifi 2 0
R-HXJ n 2 i Y2inkR
End= 3:
G+(r r'. E) = - me eikR
0 '
'
2nn 2 R
, l '
/ def l I -+ ::t' l I
def tz2 k2
ou on a pose R = r - r et E = - 2
- .
me
• Densité d'états
(10.66)
(10.67)
(10.68)
La densité d'états, notée p(E) est une fonction permettant le comptage des états quantiques: p(E)dE ~#d'états E [E, E + dE[. Autrement dit nous pouvons écrire:
p(E) = I ô(E - En)
(10.69)
n
où la somme porte sur tous les états (et non les niveaux d' énergie). En utilisant ô(E -
En) = 2 f 1 / E- E!-io+ - E- E!+io+ ) , nous constatons qu' elle est reliée à la fonction de
Green par
1 J -+ + ] 1 { "+ }
p(E) = +;
dr lm [G-(r, r; E) =+;lm Tr G-(E ) .
(10.70)
Il est parfois commode de considérer la densité d 'états locale
(10.71)
n
Les deux quantités sont reliées l' une à l' autre par J drp(r; E) = p(E).
Exercice 10.5 (F) Densité d'états du problème libre
Calculer la densité d'états par unité de volume dans le cas libre pour les dimensions
d = 1, 2 et 3.
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