"'O
0
c
:J
0
lil
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
> a.
0
u
Chapitre 10 • Introduction à la théorie des collisions
les valeurs propres de 1 'énergie correspondent aux pôles de ÇJ(r, r'; z) ex: -~ , et les
z~ En z n
fonctions d'onde aux résidus correspondants, Résidu [ÇJ(r, r'; z); En] = 'PnC1>1.p~(r') .
Lorsque le spectre est continu, la résolvante présente une coupure dans le plan complexe (ligne de discontinuité).
• Relation avec /'opérateur d'évolution
Nous pouvons maintenant établir le lien entre les fonctions de Green de l'équation
de Schrodinger en temps et l'opérateur résolvante. Pour cela nous utilisons quelques
résultats de la théorie des distributions introduits dans l'annexe 2.B . Nous calculons
sans difficulté les transformées de Fourier des deux propagateurs
l
+ oo
i E "
1
"
dte t. r K±(t) =
,,
= ÇJ(E ± iO+),
OO
E - H ± iO+
(10.63)
où nous avons introduit la notation (2.71). Nous définissons les fonctions de Green
retardée ( +) et avancée ( - ) :
(10.64)
On peut facilement vérifier que ces deux opérateurs correspondent à deux fonctions de Green particulières de l' équation de Schrodinger stationnaire [ E + 2 n
2 Li -
me
V(r)]G±(r, r';E) = ô(r- r') où G±(r, r';E) ~ (rlG±(E)l r ' ). Puisque nous avons
vu que K+(r, tir', 0) décrit l'amplitude de probabilité pour qu'une particule injectée
en r' se propage dans le futur jusqu' en r en un temps t, nous interprétons G+(r, r'; E)
comme l'amplitude de probabilité pour que la particule injectée en r' avec une énergie Ese propage jusqu'en r, d'où le nom de fonction de Green retardée. A contrario
nous avons vu que K_(r, t!P', 0) décrit la propagation vers le passé, ce que nous associons à une fonction de Green avancée G- (r, r'; E).
• Fonction de Green libre
Le calcul explicite de la fonction de Green libre se fait en développant la fonction de
Green sur le spectre des ondes planes :
J
dq
eiq-(r-1' )
G~(r, r'; E) = (2 )d
-n2z p . .
n E- -
±10+
2me
(10.65)
En dimension d = 1 et 3 le calcul ne présente pas de difficulté, et peut être mené à
l' aide du théorème des résidus (il est alors plus simple de commencer par le cas où
E < 0 puis de prolonger analytiquement le résultat, comme cela est proposé dans
202
0
c
:J
0
lil
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
> a.
0
u
Chapitre 10 • Introduction à la théorie des collisions
les valeurs propres de 1 'énergie correspondent aux pôles de ÇJ(r, r'; z) ex: -~ , et les
z~ En z n
fonctions d'onde aux résidus correspondants, Résidu [ÇJ(r, r'; z); En] = 'PnC1>1.p~(r') .
Lorsque le spectre est continu, la résolvante présente une coupure dans le plan complexe (ligne de discontinuité).
• Relation avec /'opérateur d'évolution
Nous pouvons maintenant établir le lien entre les fonctions de Green de l'équation
de Schrodinger en temps et l'opérateur résolvante. Pour cela nous utilisons quelques
résultats de la théorie des distributions introduits dans l'annexe 2.B . Nous calculons
sans difficulté les transformées de Fourier des deux propagateurs
l
+ oo
i E "
1
"
dte t. r K±(t) =
,,
= ÇJ(E ± iO+),
OO
E - H ± iO+
(10.63)
où nous avons introduit la notation (2.71). Nous définissons les fonctions de Green
retardée ( +) et avancée ( - ) :
(10.64)
On peut facilement vérifier que ces deux opérateurs correspondent à deux fonctions de Green particulières de l' équation de Schrodinger stationnaire [ E + 2 n
2 Li -
me
V(r)]G±(r, r';E) = ô(r- r') où G±(r, r';E) ~ (rlG±(E)l r ' ). Puisque nous avons
vu que K+(r, tir', 0) décrit l'amplitude de probabilité pour qu'une particule injectée
en r' se propage dans le futur jusqu' en r en un temps t, nous interprétons G+(r, r'; E)
comme l'amplitude de probabilité pour que la particule injectée en r' avec une énergie Ese propage jusqu'en r, d'où le nom de fonction de Green retardée. A contrario
nous avons vu que K_(r, t!P', 0) décrit la propagation vers le passé, ce que nous associons à une fonction de Green avancée G- (r, r'; E).
• Fonction de Green libre
Le calcul explicite de la fonction de Green libre se fait en développant la fonction de
Green sur le spectre des ondes planes :
J
dq
eiq-(r-1' )
G~(r, r'; E) = (2 )d
-n2z p . .
n E- -
±10+
2me
(10.65)
En dimension d = 1 et 3 le calcul ne présente pas de difficulté, et peut être mené à
l' aide du théorème des résidus (il est alors plus simple de commencer par le cas où
E < 0 puis de prolonger analytiquement le résultat, comme cela est proposé dans
202