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1 O.S. Diffusion dans la situation tridimensionnelle
ANNEXE 10.A : FONCTIONS DE GREEN
1 O.A.1 Opérateur d'évolution
A
dcf
Nous avons introduit dans les chapitres antérieurs l'opérateur d'évolution U(t) =
e-hflt (l'expression suppose un hamiltonien indépendant du temps). Nous introduisons les opérateurs
1
• A
K
A
(
)
~
B( ) - ! Ht
+ t - -- t e r.
n
et
1
• A
K
A
(
)
~ B( ) - ! Ht
_ t - - -t e r.
n
(10.59)
décrivant 1 'évolution vers le futur ou vers le passé (bien sûr, les particules ne se propagent que vers le futur en pratique, cependant rien n' interdit, au niveau du formalisme, de considérer la propagation vers le passé). Nous vérifions sans peine que ces
deux opérateurs sont des fonctions de Green de l'équation de Schrodinger dépendant
du temps, i.e.
(
a A) A
in at - H K±(t) = ô(t).
00.60)
Dans le cas du problème libre, H = - 2
1 j1
2 , on peut montrer facilement (c'est une
me
intégrale gaussienne) que l'expression des éléments de matrice de l'opérateur Î<+(t)
est
dcf
A
i
( me )d/ 2 i me(r - ro)
2
K+(r, tira, 0) = ( rlK+(t)I ro) = --B(t) - . - exp
,
n
2mnt
2nt
(10.61)
où d est la dimension. Au facteur-* près, cette fonction s'interprète comme l' amplitude de probabilité pour qu'une particule initialement en ro soit en r après un temps t.
Elle décrit donc la propagation de la particule vers le futur, d'où le nom de propagateur parfois donné à K+(r, tlrto, 0). Finalement remarquons que la phase coïncide avec
l'action classique S class de la particule : le propagateur libre est de la forme eiS c1ass/n.
1 O.A.2 Fonction de Green de l'équation de Schrôdinger
stationnaire
Nous introduisons l'opérateur résolvante @(z) ~ [z - H]1 de la variable complexe z.
Cet objet s'interpète comme la fonction de Green de l' équation de Schrodinger stationnaire, pour une énergie complexe E ~ z : (z - H)@(z) = 1. En le sandwichant
entre un bra et un ket nous obtenons la représentation spectrale de la résolvante :
{](r, r'; z) ~ < rl@(z)W' > = I 'Pn~~i(r')'
n
n
(10.62)
où {En, 'Pn(r')} désigne le spectre de H. L'intérêt de cette quantité est explicite : elle
contient toute l' information sur le spectre de H de manière compacte, dans une fonction de z et des positions. Si nous sommes capables de calculer cette fonction, alors
201
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ANNEXE 10.A : FONCTIONS DE GREEN
1 O.A.1 Opérateur d'évolution
A
dcf
Nous avons introduit dans les chapitres antérieurs l'opérateur d'évolution U(t) =
e-hflt (l'expression suppose un hamiltonien indépendant du temps). Nous introduisons les opérateurs
1
• A
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(10.59)
décrivant 1 'évolution vers le futur ou vers le passé (bien sûr, les particules ne se propagent que vers le futur en pratique, cependant rien n' interdit, au niveau du formalisme, de considérer la propagation vers le passé). Nous vérifions sans peine que ces
deux opérateurs sont des fonctions de Green de l'équation de Schrodinger dépendant
du temps, i.e.
(
a A) A
in at - H K±(t) = ô(t).
00.60)
Dans le cas du problème libre, H = - 2
1 j1
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intégrale gaussienne) que l'expression des éléments de matrice de l'opérateur Î<+(t)
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où d est la dimension. Au facteur-* près, cette fonction s'interprète comme l' amplitude de probabilité pour qu'une particule initialement en ro soit en r après un temps t.
Elle décrit donc la propagation de la particule vers le futur, d'où le nom de propagateur parfois donné à K+(r, tlrto, 0). Finalement remarquons que la phase coïncide avec
l'action classique S class de la particule : le propagateur libre est de la forme eiS c1ass/n.
1 O.A.2 Fonction de Green de l'équation de Schrôdinger
stationnaire
Nous introduisons l'opérateur résolvante @(z) ~ [z - H]1 de la variable complexe z.
Cet objet s'interpète comme la fonction de Green de l' équation de Schrodinger stationnaire, pour une énergie complexe E ~ z : (z - H)@(z) = 1. En le sandwichant
entre un bra et un ket nous obtenons la représentation spectrale de la résolvante :
{](r, r'; z) ~ < rl@(z)W' > = I 'Pn~~i(r')'
n
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(10.62)
où {En, 'Pn(r')} désigne le spectre de H. L'intérêt de cette quantité est explicite : elle
contient toute l' information sur le spectre de H de manière compacte, dans une fonction de z et des positions. Si nous sommes capables de calculer cette fonction, alors
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