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Chapitre 10 • Introduction à la théorie des collisions
comportement asymptotique des ondes partielles 'Pk, e,mCf'> = uk,e(r)Yt(B, cp) avec
uk,e(r ---7 oo) ~ +. sin(kr - ~f + l]e). En suivant les lignes des calculs faits dans le cas
bidimensionnel, nous obtenons [30] :
1 OO
f(B) = - . .L:c2e + l)(e
2 irte(E) -1) Pe(cosB)
21k f=O
(10.56)
où Pe(x) est un polynôme de Legendre. En utilisant J d(cos B) Pe(cos B)Pe, (cos B) =
2 e~I ôe,e' (tableau de l'annexe A), l' intégration angulaire nous donne la section efficace totale
4 OO
cr= ~ 2=(2f + 1) sin
2 77e(E) .
k f=O
(10.57)
Le cas de la diffusion de basse énergie est également intéressant. L' amplitude de
diffusion est isotrope, dominée par l'onde s. On peut montrer que, pour un potentiel
de portée finie, l'amplitude de diffusion tend vers une limite finie, appelée longueur
de diffusion [30]
def
1" f(B)
1" l]o
as = - tm
= - tm -
k~o
k~o k
d ' où
cr ~ 4na
2
k~o
s
(10.58)
(la convention pour le signe est telle que as soit positive pour une sphère dure). Ce
résultat montre que le faisceau est intercepté par une surface typique cr~ a;. Notons
que cette échelle peut être très différente de la dimension géométrique associée au
diffuseur (portée de l'interaction) comme on le verra dans les exercices.
200
À retenir
Notions de déphasage, résonance (état quasi-lié), matrice S , amplitude de diffusion et
secti on efficace.
Les propriétés d'analyticité de la solution permettent d'établir des relations entre comportement asymptotique des états de diffusion et densité d'états dans la région de diffusion, voire avec les états liés.
Pour en savoir plus
Sur la diffusion 1 D, cf. [36].
Les ouvrages [8, 33, 5] proposent des présentations pédagogiques (du cas 3D).
Des références plus avancés sont : les chapitres X et XIX de [37] et le chapitre xvn
de [30].