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10.4. Diffusion dans la situation bidimensionnelle
b) Intérêt de l'analyse en termes des déphasages
L'intérêt de l' analyse en déphasages est qu' en pratique la section efficace pour un
potentiel de portée finie r 0 ne fait seulement intervenir qu'un nombre fini de déphasages (autrement dit ceux-ci décroissent avec m). Pour le comprendre, revenons
sur l'équation différentielle satisfaite par la partie radiale uk,m(r) de l'onde partielle.
L'analyse du comportement pour r ---7 0 montre que la fonction se comporte comme
uk,m(r) ,..., rlml, i.e. plus le moment cinétique augmente, moins la solution est sensible
à la présence du potentiel concentré autour de l'origine. En remarquant que la position du premier maximum de la fonction de Bessel l v---H>o(z) se comporte comme
Zmax ,..., yv, nous déduisons que lorsque Viffiî >> kro, la solution radiale coïncide avec
la solution libre uk,m(r) ~ lm(kr) et le déphasage est nul. Autrement dit, à une énergie E = n 2
2
k
2
, seuls les déphasages Tfm(E) tels que lml ;S Mmax ,..., (krof contribuent
me
significativement à l'amplitude de diffusion.
Dans la limite de basse énergie E ---? 0, plus précisément kro << 1, la diffusion ne sonde que les propriétés de grande échelle du potentiel et elle est bien caractérisée uniquement par l'onde s (le terme de moment orbital m = 0). Dans ce
cas la diffusion est isotrope, i.e. l' amplitude de diffusion indépendante de l'angle,
f(B) ~ . ,/ (e 2 iryo(E) - 1). On montre sur un exemple dans l'exercice 10.11 que
k~o
2mk
le comportement attendu génériquement pour le déphasage de basse énergie est
T/o(E ---? 0) ,..., 1/ ln(kro) où ro est la portée du potentiel, si bien que l'amplitude de
diffusion diverge à basse énergie en deux dimensions (la diffusion par le potentiel
devient très importante) :
1
f ( 8) "'
---7 OO
k~o .../k 1n(kro)
(10.50)
Ce comportement sera également obtenu dans le problème 10.3 et l'exercice 10.11
sur 1' analyse de la diffusion par des potentiels localisés. Ce résultat est à rapprocher
de la discussion sur la validité du développement de Born, qui nous a montré que,
quelle que soit l'amplitude du potentiel, la diffusion devient forte (non perturbative)
en allant vers les basses énergies.
Ceci est assez différent du cas tridimensionnel, qui sera discuté dans la section
suivante, pour lequel l'amplitude de diffusion sur un potentiel de portée finie tend
vers une limite finie, éq. (10.58). Cette remarque illustre que l'effet de la diffusion
sur un potentiel est renforcé aux basses dimensions.
L'analyse de la diffusion en terme des déphasages offre donc une manière d'étudier le problème efficacement dans la limite de basse énergie, complémentaire de
l'approche perturbative (approximation de Born) valable pour Vo ---? 0 et/ou k---? oo.
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b) Intérêt de l'analyse en termes des déphasages
L'intérêt de l' analyse en déphasages est qu' en pratique la section efficace pour un
potentiel de portée finie r 0 ne fait seulement intervenir qu'un nombre fini de déphasages (autrement dit ceux-ci décroissent avec m). Pour le comprendre, revenons
sur l'équation différentielle satisfaite par la partie radiale uk,m(r) de l'onde partielle.
L'analyse du comportement pour r ---7 0 montre que la fonction se comporte comme
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à la présence du potentiel concentré autour de l'origine. En remarquant que la position du premier maximum de la fonction de Bessel l v---H>o(z) se comporte comme
Zmax ,..., yv, nous déduisons que lorsque Viffiî >> kro, la solution radiale coïncide avec
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significativement à l'amplitude de diffusion.
Dans la limite de basse énergie E ---? 0, plus précisément kro << 1, la diffusion ne sonde que les propriétés de grande échelle du potentiel et elle est bien caractérisée uniquement par l'onde s (le terme de moment orbital m = 0). Dans ce
cas la diffusion est isotrope, i.e. l' amplitude de diffusion indépendante de l'angle,
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le comportement attendu génériquement pour le déphasage de basse énergie est
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Ce comportement sera également obtenu dans le problème 10.3 et l'exercice 10.11
sur 1' analyse de la diffusion par des potentiels localisés. Ce résultat est à rapprocher
de la discussion sur la validité du développement de Born, qui nous a montré que,
quelle que soit l'amplitude du potentiel, la diffusion devient forte (non perturbative)
en allant vers les basses énergies.
Ceci est assez différent du cas tridimensionnel, qui sera discuté dans la section
suivante, pour lequel l'amplitude de diffusion sur un potentiel de portée finie tend
vers une limite finie, éq. (10.58). Cette remarque illustre que l'effet de la diffusion
sur un potentiel est renforcé aux basses dimensions.
L'analyse de la diffusion en terme des déphasages offre donc une manière d'étudier le problème efficacement dans la limite de basse énergie, complémentaire de
l'approche perturbative (approximation de Born) valable pour Vo ---? 0 et/ou k---? oo.
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