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Chapitre 10 • Introduction à la théorie des collisions
symétriques sous les rotations (rappelons nous que les états propres de S sont aussi
des états propres de l'hamiltonien). Pour le potentiel radial, Les ondes partielles sont
donc les états propres de H et de ez, que nous notons 'Fk,mCr) = Uk,m(r) eim(}.
La partie radiale de la fonction d ' onde est solution de 1 'équation différentielle
(
d
2
1 d
m
2
2me
)
2
- -
- - - + - + -V(r) Uk (r) = k Uk (r)
d
2
d
2
t.2
,m
,m
r
r r
r
n
(10.45)
(ne pas confondre la masse, notée ici me, avec le moment orbital m !)
Si le potentiel décroît suffisamment vite, la solution se comporte asymptotiquement comme
1
(
7f
lf)
Uk,m(r) : : : : : : ' . _ r: cos kr - -lml + T/m(E) - -
~OO yr
2
4
(10.46)
où le déphasage T/m(E) de l'onde partielle est mesuré relativement au comportement
de la solution libre (1 0.33) (i.e. T/m = 0 si V(r) = 0) : la présence du potentiel induit
un déphasage supplémentaire 2T/m entre l'onde partielle convergente }re-ikr et l'onde
divergente }re+ikr+ 2 i1Jm .
Nous pouvons identifier le comportement asymptotique de l' état stationnaire de
diffusion avec sa décomposition sur les ondes partielles
I
. ( } 'k (} f(8) 'k
1/1-{r) =
Cm 'Fk,m(t) =
Cm Uk,m(r) e•m : : : : : : ' . e
1 rcos + - - e
1 r.
k
r~oo
-'r
m
m
V'
(10.47)
Les coefficient Cm sont obtenus en imposant que Lm Cm uk,m(r) eim(} - eikrcose soit
une onde sortante, ex: ~eikr. En utilisant la relation (1 0.34), nous obtenons Cm =
~imeiTtm. Nous déduisons l'expression de l' amplitude de diffusion et de la section
efficace totale en terme des déphasages :
f(8) =
1 I ( e2i77m(E) - 1) eim(}
V2ink mEZ
(10.48)
et, en intégrant dans toutes les directions cr = L:n d8lf(8)1
2 ,
cr = ~ I sin
2 T/m(E)
m EZ
(10.49)
On peut vérifier que (10.48) et (1 0.49) vérifient le théorème optique (1 0.41 ).
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