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10.4. Diffusion dans la situation bidimensionnelle
En introduisant la notation k' ~ kûr pour désigner le vecteur d'onde des particules
détectées, nous identifions l'expression approchée de l'amplitude de diffusion, que
-+
-+
nous notons plus suggestivement f(k ', k) = f(fJ)
f(k'' k) (Bo~ 1)
me
V(k' - k)
1ï 2 i v2ink
(10.44)
où V(f/) = J drV(f) e- iq·r est la transformée de Fourier du potentiel (notons que
;{ V(f/) est sans dimension en 2D). f(k', k) est proportionnelle à l'amplitude de pro-+
habilité pour que l'onde incidente d'impulsion nk soit diffusée dans un état d'impul-+
sion nk ' .
• Validité de /'approximation
L'équation (1 0.42) est le début d'un développement perturbatif de la fonction d'onde
en puissances du potentiel, que nous écrivons l/Jk(f) = l/J(O)(f) + l/J(l)(f) + O(V 2 ). La
validité de l'approximation suppose donc que 11/J(l)(f)I « 11/J(O)(f)I. L'examen du terme
d'ordre 1 décrivant la diffusion laisse penser que celui-ci est maximum à l'origine,
puisque la fonction de Green décroît à grande di stance. Nous prendrons donc comme
critère de validité de l'approximation de Born d'ordre 1 : 111/J(l)(O)I « i I. Supposons
que le potentiel ait une portée ro et une amplitude Vo. L'estimation du terme l/J(l)(O) =
J dr' G~(O, r') V(r') eik.r' requiert de considérer deux cas limites.
Si kro « 1 (particule faiblement énergétique) l'intégrale fait intervenir essentiellement le comportement de la fonction de Green à l'origine, donné par (1 0.67) et
l'éq. (A.35) de l'annexe A. Le critère adopté prend la forme Vo « n\ 11 ck· )I. À Vo
mero n 10
et r 0 fixés, cette inégalité sera donc nécessairement violée en allant vers les basses
énergies.
Si kr 0 » 1 (particule très énergétique), l'analyse de l'intégrale, qui fait alors intervenir le comportement de la fonction de Green pour kr' >> 1, est plus délicate
et conduit à V 0 << 1i
2
k . Cette condition peut toujours être satisfaite à condition de
mero
considérer des énergies suffi samment élevées.
10.4.3 Diffusion par un potentiel radial - ondes partielles
et déphasages
a) Relation entre les déphasages et la section efficace
L'analyse de la situation lD a montré que les déphasages sont associés aux ondes
partielles, i.e. aux états propres de la matrice S. Dans la situation invariante par
rotation que nous considérons dans ce paragraphe, ces états propres sont des états
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En introduisant la notation k' ~ kûr pour désigner le vecteur d'onde des particules
détectées, nous identifions l'expression approchée de l'amplitude de diffusion, que
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nous notons plus suggestivement f(k ', k) = f(fJ)
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où V(f/) = J drV(f) e- iq·r est la transformée de Fourier du potentiel (notons que
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habilité pour que l'onde incidente d'impulsion nk soit diffusée dans un état d'impul-+
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• Validité de /'approximation
L'équation (1 0.42) est le début d'un développement perturbatif de la fonction d'onde
en puissances du potentiel, que nous écrivons l/Jk(f) = l/J(O)(f) + l/J(l)(f) + O(V 2 ). La
validité de l'approximation suppose donc que 11/J(l)(f)I « 11/J(O)(f)I. L'examen du terme
d'ordre 1 décrivant la diffusion laisse penser que celui-ci est maximum à l'origine,
puisque la fonction de Green décroît à grande di stance. Nous prendrons donc comme
critère de validité de l'approximation de Born d'ordre 1 : 111/J(l)(O)I « i I. Supposons
que le potentiel ait une portée ro et une amplitude Vo. L'estimation du terme l/J(l)(O) =
J dr' G~(O, r') V(r') eik.r' requiert de considérer deux cas limites.
Si kro « 1 (particule faiblement énergétique) l'intégrale fait intervenir essentiellement le comportement de la fonction de Green à l'origine, donné par (1 0.67) et
l'éq. (A.35) de l'annexe A. Le critère adopté prend la forme Vo « n\ 11 ck· )I. À Vo
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et r 0 fixés, cette inégalité sera donc nécessairement violée en allant vers les basses
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Si kr 0 » 1 (particule très énergétique), l'analyse de l'intégrale, qui fait alors intervenir le comportement de la fonction de Green pour kr' >> 1, est plus délicate
et conduit à V 0 << 1i
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k . Cette condition peut toujours être satisfaite à condition de
mero
considérer des énergies suffi samment élevées.
10.4.3 Diffusion par un potentiel radial - ondes partielles
et déphasages
a) Relation entre les déphasages et la section efficace
L'analyse de la situation lD a montré que les déphasages sont associés aux ondes
partielles, i.e. aux états propres de la matrice S. Dans la situation invariante par
rotation que nous considérons dans ce paragraphe, ces états propres sont des états
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