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> a.
0
u
Chapitre 10 • Introduction à la théorie des collisions
d'inteiférence n'apporte une contribution significative auflux de particules que dans
le cas de la diffusion vers l'avant. On obtient (en utilisant l'approximation de la phase
stationnaire, expliquée plus bas)
r f de Ur · l~nterf ~ 2 Yr 1ïk Re [1 (0) f de ei(l-cos e)kr] ~ 2 1ïk Re [ J2i; f (O)l
me
kr~oo me " k
(10.40)
On vérifie que la contribution de la rétrodiffusion, fJ ~ n, qui est aussi un point stationnaire de l'argument des exponentielles du terme d'interférence de (10.36), s'annule.
En imposant la condition de conservation du courant, éq. (10.39), nous obtenons finalement le théorème optique
[ /si;
l
a-= -Re \j k f(e = 0)
(10.41)
-+
qui exprime que le terme d'interférence, linterf, apporte une contribution à la diffusion
vers l'avant exactement opposée au courant total diffusé.
Approximation de la phase stationnaire. Considérons l'intégrale /(À) d~f
fab de é 1 f où la fonction f(e) possède un unique extremum dans l'intervalle, en
e 0 E ]a, b[. Dans la limite À~ oo, l'intégrale est dominée par le voisinage de e 0 . On
déduit (intégrale gaussienne) /(À ~ oo) ::e
b) Approximation de Born
Appliquons 1' approximation (1 0.31 ) pour obtenir une forme approchée de 1 'amplitude de diffusion. Nous injectons l'état libre l/JS
0
\r) = eik-r dans (10.3 1) et obtenons
k
l'état (sortant) :
(Born 1) .k .... :t f
.k .... __,,
l/ll(1) ~ e
1
. , + dr ' ci(r, r'; E) V(r')e
1 ·r .
(10.42)
Nous avons besoin de la fonction de Green retardée libre calculée dans l'annexe,
éq. (1 0.67). Dans l'équation (10.42), si V(1) a une portée r 0 , l' intégrale sur r' est
dominée par lirt'll ::5 ro. D'autre part, le point r se trouve dans la région asymptotique,
au niveau du détecteur : 11' 11 >> llr'll ~ ro. Nous pouvons donc utiliser le développement limité llr - r'll = r - ur · r' + O(r'
2 /r) où ur ~ r/r. En insérant cette expression
dans ( 10.42) nous obtenons
f
dr' ci (r, r'; E) V(r') eik-r' ~
~ eikr f dr' V(r') ei(k- kil,)·r' . (10.43)
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Chapitre 10 • Introduction à la théorie des collisions
d'inteiférence n'apporte une contribution significative auflux de particules que dans
le cas de la diffusion vers l'avant. On obtient (en utilisant l'approximation de la phase
stationnaire, expliquée plus bas)
r f de Ur · l~nterf ~ 2 Yr 1ïk Re [1 (0) f de ei(l-cos e)kr] ~ 2 1ïk Re [ J2i; f (O)l
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(10.40)
On vérifie que la contribution de la rétrodiffusion, fJ ~ n, qui est aussi un point stationnaire de l'argument des exponentielles du terme d'interférence de (10.36), s'annule.
En imposant la condition de conservation du courant, éq. (10.39), nous obtenons finalement le théorème optique
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a-= -Re \j k f(e = 0)
(10.41)
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qui exprime que le terme d'interférence, linterf, apporte une contribution à la diffusion
vers l'avant exactement opposée au courant total diffusé.
Approximation de la phase stationnaire. Considérons l'intégrale /(À) d~f
fab de é 1 f
e 0 E ]a, b[. Dans la limite À~ oo, l'intégrale est dominée par le voisinage de e 0 . On
déduit (intégrale gaussienne) /(À ~ oo) ::e
b) Approximation de Born
Appliquons 1' approximation (1 0.31 ) pour obtenir une forme approchée de 1 'amplitude de diffusion. Nous injectons l'état libre l/JS
0
\r) = eik-r dans (10.3 1) et obtenons
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l'état (sortant) :
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(10.42)
Nous avons besoin de la fonction de Green retardée libre calculée dans l'annexe,
éq. (1 0.67). Dans l'équation (10.42), si V(1) a une portée r 0 , l' intégrale sur r' est
dominée par lirt'll ::5 ro. D'autre part, le point r se trouve dans la région asymptotique,
au niveau du détecteur : 11' 11 >> llr'll ~ ro. Nous pouvons donc utiliser le développement limité llr - r'll = r - ur · r' + O(r'
2 /r) où ur ~ r/r. En insérant cette expression
dans ( 10.42) nous obtenons
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