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10.4. Diffusion dans la situation bidimensionnelle
10.4 DIFFUSION DANS LA SITUATION
BI Dl MEN SION N ELLE
L'analyse de la situation en dimension supérieure à 1 nous permet d'introduire une
nouvelle notion centrale de la théorie de la diffusion : la notion de section efficace. La
remarque que nous avons faite dans le cas ID s'applique encore: l' étude de la situation bidimensionnelle est loin d'être académique puisqu' il est possible de réaliser des
gaz d' électrons piégés à l'interface de deux semi-conducteurs. À suffisamment basse
température ( qq K) la physique de ces électrons est effectivement bidimensionnelle
(on pourra voir la discussion du paragraphe 16.2.2.a).
10.4.1 Deux bases d'états libres
La théorie des collisions a pour objet de comprendre comment les états asymptotiquement libres sont couplés par un potentiel diffuseur. Il convient donc de discuter
précisément des bases libres adaptées.
Une base naturelle introduite dans les chapitres précédents est celle des ondes
planes l/t~O) (;t) = 2
1 eik.t. Il est aussi utile de discuter une base d ' états libres classés
k
7r
par leur moment orbital (i.e. leurs propriétés de symétrie sous les rotations) : les
k,m(;t), fonctions propres de l'énergie -b.k,m(0 = k
2 k,m(;t), et du moment orbital
-i8ek,m(0 = m k,m(;t), où l'opérateur de moment orbital est e 2 = -in(xBy - yBx) =
- inae.
Le Laplacien bidimensionnel s'exprimant comme b. = %r~ +;fr+ r\ ;; 2 , les k,m(;t)
sont donc des fonctions cylindriques (fonctions de Bessel, cf. annexe A) :
(10.32)
En utilisant les formules de l'annexe A nous obtenons le comportement asymptotique
de la partie radiale
u(O) (r) ~ _ 1_ cos (kr - ::lm! - ::) ex: _l_ e- ikr + _l _ei(kr-rrlml-~)
k,m
r-7 00 7r Vr
2
4
yr
yr
(10.33)
que nous interprétons comme la superposition d ' une onde convergente et d' une onde
divergente.
Discutons la relation entre les deux bases d'états libres, { l/t~O) (;t)} et { k,m(;t) }. Pour
cela nous introduisons une relation qui sera utile pour la suite. Écrivons l'onde plane
pour le vecteur k = kilx comme eikrcose = l:m am eime. Les coefficients sont donnés par am = fo
2
rr ~! e- ime+ikrcose. Nous reconnaissons la représentation intégrale des
191
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10.4. Diffusion dans la situation bidimensionnelle
10.4 DIFFUSION DANS LA SITUATION
BI Dl MEN SION N ELLE
L'analyse de la situation en dimension supérieure à 1 nous permet d'introduire une
nouvelle notion centrale de la théorie de la diffusion : la notion de section efficace. La
remarque que nous avons faite dans le cas ID s'applique encore: l' étude de la situation bidimensionnelle est loin d'être académique puisqu' il est possible de réaliser des
gaz d' électrons piégés à l'interface de deux semi-conducteurs. À suffisamment basse
température ( qq K) la physique de ces électrons est effectivement bidimensionnelle
(on pourra voir la discussion du paragraphe 16.2.2.a).
10.4.1 Deux bases d'états libres
La théorie des collisions a pour objet de comprendre comment les états asymptotiquement libres sont couplés par un potentiel diffuseur. Il convient donc de discuter
précisément des bases libres adaptées.
Une base naturelle introduite dans les chapitres précédents est celle des ondes
planes l/t~O) (;t) = 2
1 eik.t. Il est aussi utile de discuter une base d ' états libres classés
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par leur moment orbital (i.e. leurs propriétés de symétrie sous les rotations) : les
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Le Laplacien bidimensionnel s'exprimant comme b. = %r~ +;fr+ r\ ;; 2 , les k,m(;t)
sont donc des fonctions cylindriques (fonctions de Bessel, cf. annexe A) :
(10.32)
En utilisant les formules de l'annexe A nous obtenons le comportement asymptotique
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que nous interprétons comme la superposition d ' une onde convergente et d' une onde
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Discutons la relation entre les deux bases d'états libres, { l/t~O) (;t)} et { k,m(;t) }. Pour
cela nous introduisons une relation qui sera utile pour la suite. Écrivons l'onde plane
pour le vecteur k = kilx comme eikrcose = l:m am eime. Les coefficients sont donnés par am = fo
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