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Chapitre 10 • Introduction à la théorie des collisions
est une équation intégrale pour les états stationnaires :
l/J~Cr> = l/J~)ct> + J dr' G3Cr, r'; E) ver') l/J~(r'). (10.28)
La situation physique représentée sur la figure 10.8 correspond à l'état sortant 1/1~(1) .
La fonction de Green est particulièrement adaptée à l'écriture d'un développement
zz- 0
z- 0 ztion
G(E) = G 0 (E) + G 0 (E) V G(E),
(10.29)
appelée équation de Dyson. Nous pouvons ainsi écrire G = Go + Go V Go +
Go VG 0 VG 0 +··· . En procédant de manière analogue dans l' équation de LippmannSchwinger, 11/J~) = 11/J~) ) + G3VI 1/1~) ) + G3VG3VI 1/1~ ) = (1 + G3V + G3VG3V +
· · · )11/J~) ), nous aboutissons à l'équation
(10.30)
qui nous fournit en principe un moyen de construire l' état de diffusion 11/J~ ), à partir
de l'état libre 11/J~) ) . Notons toutefois que nous n'avons fait que repousser la difficulté
(résoudre une équation intégrale, ( 10.28)) dans le calcul de la fonction de Green
exacte du problème avec potentiel. L' exercice 10.8 analyse un cas simple pour lequel
cette équation peut être résolue exactement.
• Approximation de Born
Lorsque le potentiel diffusant est suffisamment faible (ou que l'énergie de la particule
incidente est grande), une bonne approximation qui simplifie la construction de l ' état
stationnaire de diffusion peut être de remplacer l'état stationnaire par l' état libre dans
le membre de droite de l'équation de Lippmann-Schwinger ( 10.27) ou (10.28) :
11/J~ ) (Bo~ l ) (1 + G3(E)V)l l/J~) ) .
(10.31)
On parle d'approximation de Born d' ordre 1.
• Matrice T
On introduit parfois la matrice T définie par G(E)V = Go(E)T(E), i.e. T(E) ~ V+
V G(E) V . L' état stationnaire s'exprime alors comme 11/J~) = (1 +G3(E)T±(E ))l l/J~) ),
ce qui montre que la matrice T remplace, dans l'état stationnaire exact, le potentiel V
dans l'approximation de Born.
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